数字で確認しましょう。
1/2-1/3 を通分します。このとき分母は6になりますね。ですので1/2の方には分母分子に3を、1/3の方には2をかけます。
(1×3)/(2×3)-(1×2)/(3×2)
=3/6-2/6
=1/6
となりますね。部分分数分解は、弧の逆を行っています。
1/6=3/6-2/6=1/2-1/3
のような感じです。
では、整式ではどうするのか。
1/x(x-1)を部分部分数分解するとき、
1/x-1/(x-1)
のような分数に分解したいのです。
ただ、分子の数が1でないときもありますので、
1/x(x-1)=A/x-B/(x-1)
とおきます。そして右辺を通分します。
={A(x-1)-Bx}/x(x-1)
={(A-B)x-A}/x(x-1)
分母は同じなので、分子の恒等式から
A-B=0、1=-A から、
A=-1、B=-1
となりますので、1/x(x-1)を部分分数分解すると
-1/x+1/(x-1)
となるわけです。
このように、問題に書かれている分数はすでに通分されている式なので、通分する前の分母にわけて、分子をA,Bなどでおいて、恒等式を作ります。