Question

琥珀𓂃ོ

数I 命題と論証
必要十分条件/逆・対偶・裏

2つあります。

25の⑴なのですが、私の考え方だと違うみたいで、どこが違うか教えていただきたいです。

26で、逆、対偶、裏をよく覚えてなくて、教えていただきたいです。
上に書いている説明がイマイチよくわかりません…

1枚目:問題、2枚目:私の解答、3枚目:解答です。
よろしくお願いします！！

それぞれP,Q とすると, p
2 条件の否定
かつ
または g
またはq
かつす
3 必要条件十分条件
命題
gが真のとき
はかの必要条件はgの十分条件
命題p
gが真のとき
はかの)必要十分条件
はgの(またはq
4 逆・対偶・裏
命題 pq について
pa ap
逆 : g
=
!⇒1.裏: ⇒i
,対偶:
命題とその対偶の真偽は一致する。
対偶
逆
CHECK
25 必要条件・十分条件
次の[ ] に当てはまるものを、下の①~③ から1つずつ選べ。
ただし, x, yは実数, m, n は整数とする。
(1) x=yであることは, x2=y2 であるための
(2)xy が有理数であることは, xとyがともに有理数であるための
(3)とnがともに奇数であることは, 3mn が奇数であるための
⑩ 必要十分条件である
① 必要条件であるが, 十分条件ではない
② 十分条件であるが, 必要条件ではない
③必要条件でも十分条件でもない
PAA
26 逆・対偶・裏
命題 「a=0 または 6=0 ならば, a+6=0 かつ a-b=0」について考える。
真偽について, 逆は
対偶は
~
裏は
である。
□は、命題が真ならば⑩,偽ならば①をそれぞれ選んで入れ
12 数学Ⅰ

25.
(x=y nig
逆は①
対偶は
裏は①
①
(2)
x² = y * -x-y
4 xyが有理数
xxryが有理数を
xとyが同じルートの数 ①
の可能性もある。
menが奇数
3mnが奇数
2°
@
H
261
abcoならば、
1₤12 Ash =0 p\> a+b=0 12518
Q=0、またはco.
対偶ash=0またはa-l=0ならが、
a=0 かつba=0.
裏は
はa-0かつ=0ならば
ash=0またはa-b=0

24 (集合の関係)
A={1, 2, 4, 5, 10, 20)
-TRIAL-
28 必要条件
B= (3,6,9,12,15,18}
逆・対偶・裏)
条件のは
C= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
与えられた集合の要素
を図に書き込むと, 右
の図のようになる。
命題 「α = 0 または b = 0 ならは,
-U
B
2
3
6
a+b=0かつa-b=0」について
逆は 「a+b=0 かつ a b = 0 ならば,
a = 0 または b=0」
(1) 命題「♪
[2]の場合
9
10
12
7
(a) 1∈A, 1Cであ
るから, ACCは
20
15
11
8
18
13 171914
16
対偶は 「a + b≠0 または α b≠0ならば,
a≠0 かつ60」
[1]
.C
裏は「αキ 0 かつ60 ならば,
誤
(b) AnB=Øは正
(c) Anc= {6, 8, 12, 14, 16, 18}
よって (ANC)UB
一方
=3,6,8,9,12,14,15,16,18)
BUC
(証明) a+b=0 かつab=0のとき
2a=0
2式の辺々を加えると
a=0
よって
a+b0 または a-b≠0」
[2]
真偽について
逆は真である。 ()
[1]のとき
[2]のとき
このとき b=0
よって An(BUC)
= {2,3,4,6,8, 9, 10, 12, 14,
15,16,18,20}
よって
対偶は偽である。 (イ)
(反例) a=1,b=0
裏は真である。 (0)
=(3,6,8,9,12,14,15,16,18)
ゆえに、 (AnC)UB=An(BUC)は正
よって、 正誤の組合せとして正しいものは ④
27 必要条件・十分条件
(証明) 逆が真であるから,その対隅である裏も
真である。
値の範囲
(2) a=6
命題「_
(反例:
(3) 条件
a=1の
よって,
- STEP-
25面 八々
(1) 「x=yx2=y'」は真。
また, 「x2=y2⇒x=y」 は偽。
反例: x=2, y=-2
x≧4を解くと x-2, 2≦x
よって A=(xlx-2, 2≦x}
また, B={x|x<1,2<x}
BnD={x|1<x<2},
A={x|-2<x<2}
であるから, 命題
よって、 十分条件であるが, 必要条件ではない。
ゆえに ②
XEBOD
EA
(2 「xy が有理数⇒ x と yがともに有理数」は
は真である。
(反例: x=√2,y=-√2)
また、 「x と yがともに有理数⇒xyが有理数」
は真。
よって、必要条件であるが,十分条件ではない。
ゆえに ①
(3) 「mnがともに奇数 3mn が奇数」 は真。
また, 「3mn が奇数⇒ mとnがともに奇数」
も真。
(証明) 対偶 「m,nの少なくとも一方が偶数
⇒ 3mnは偶数」
が真であるから,もとの命題も真である。
よって、必要十分条件である。
ゆえに
命題 C
BOD
-2
12
命題
よって
であ
ない。
実戦問
また、命題 「xAxEBOD」は偽である
から,xEBODは,xEAであるための十分条
件であるが必要条件ではない。 (1)
また AUB= [x]-2<x≦2}
よって, (AUB)∩D = {1, 2), C={1, 2}であ
るから, xE (AUB)nD は, xECであるため
の必要十分条件である。 (②)
29(アー
商品を
式をつ
x>40
購入す
x≦20
以下,
[1] 2
な
よ

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

あ

(1)のように『PであることはQであるための〜』という問題がある場合。
P→Qが成立していれば十分条件、Q→Pが成立していれば必要条件となります。
(語呂合わせ:十要条件(重要条件))

25.(1)①はP→Qが成立していて、Q→Pが成立していないため『十分条件であるが必要条件ではない』②となります。

25.(2)xyが有理数であるとき、xとyが共に有理数とは限りません。(反例:x=√2、y=√2)
また、xとyが共に有理数であるとき、xyは有理数になります。
よってP→Qは成り立たず、Q→Pは成り立っているため、『必要条件であるが十分条件でない』①となります。

26.『P→Q』という条件を元に考えます。
逆は『Q→P』となります。

また『Pでない』を『Pバー』、『Qでない』を『Qバー』とおくと、(実際にはP，Qの上に線を引いたものをバーと表す)
裏は『Pバー→Qバー』であり、
対偶は『Qバー→Pバー』です。

まとめると
『P→Q』
逆は『Q→P』
裏は『Pバー→Qバー』
対偶は『Qバー→Pバー』

琥珀𓂃ོ

25の⑴は逆で覚えてしまっていたから答えが合わなかったってことでした…💦

詳しくありがとうございます🙇
26の真偽についても教えていただけますか、、？
重ねてすみません…

あ

26.
逆:「a+b=0かつa-b=0ならばa=0またはb=0である」真
a+b=0・・・①、a-b=0・・・②
①+②より2a=0、よってa=0。このときb=0となる。
よって命題は成り立つ。

裏:「a≠0かつb≠0ならばa+b≠0またはa-b≠0である」真
a≠0かつb≠0であるときにa+b=0･･･①かつa-b=0・・・②が成り立つようなa,bが存在すると仮定する。このとき、①+②より2a=0よりa=0。また①-②より2b=0よりb=0となりa≠0かつb≠0の条件と矛盾する。この矛盾はa≠0かつb≠0であるときにa+b=0かつa-b=0が成り立つようなa,bが存在すると仮定したためである。よって命題は真となる。

対偶:「a+b≠0またはa-b=≠0ならばa≠0かつb≠0である」偽
a=0、b=1のときa+b≠0またはa-b=≠0となるが、これはa≠0を満たしていないため、この命題は偽となる。

琥珀𓂃ོ

お返事遅くなってしまってすみません,,

丁寧にありがとうございました!!