Question

原西

【数Ⅱ 複素数と方程式】a.b.cは実数の定数とする。2次方程式ax²2+bx+c=0が次の各場面において、虚数解をもたないことを示せ。
(1) b=a+c
これの解き方についてなのですが、D＜0となれば良いというのはわかってb²−4(a+c)まで出せたのですが、このあと解説ではこの式のbにa+cを代入していたのですが、なぜそれで虚数解を持たないと証明できるのでしょうか?また、−4(a+c)の(a+c)の部分にbを代入するというのは無理なんでしょうか。教えて下さい😢

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

てと

誤解があるようなのでその訂正から！！

虚数解を「もたない」なので、つまり「実数解をもつ」と言い換えることができますね。
ということは判別式D≧0になるはずです！

D<0になるのは虚数解を「もつ」ときですね…！

次に、判別式D=b²-4acですが、ここで気をつけたいのは-4acが-4×a×cということですね！
-4(a+c)とは話が違います…！！

本来はb²-4acということなので、(a+c)の部分が存在せずbを代入することができないんですね…

さて！結局はbにa+cを代入するわけですが
D= b²-4ac
= (a+c)²-4ac
= a²+2ac+c²-4ac
= a²-2ac+c²
= (a-c)²

ここで(a-c)²の形を見ると、二乗がついていますよね
正の数を二乗すると当然0以上になりますし、
負の数を二乗しても0以上ですね！
どんな実数でも二乗すると絶対に0以上になるわけです！
ということで、(a-c)²≧0となるので、

D= (a-c)² ≧ 0つまり、D≧0 がいえました！

これは実数解を持つことを表し、つまり虚数解を持たないことを表していると言い換えることができましたね！