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まず、前提として重さ(質量)と書いていますが、質量と重さは異なるものです。中学1年生の理科で習ったと思いますし、物理基礎でどうせすぐに習うことなので、改めて書いておきます。
・質量 = 物体そのものが持つ物理量
→単位はkg
・重さ=重力の大きさ
→力であるから、単位はニュートンN
・この2つの関係性は（物理基礎）
重さ=質量×重力加速度
重力加速度というのは、場所によって変わる値なので、重力の大きさは場所によって変わりますが、質量は物質そのものが持つもので、どこでも変わりませんし、状態変化を起こしても変わりません。
（補足）
物理ではgよりkgを基準として使う、同じく長さはメートルmを、時間は秒s（secondの略）を使う。このような単位系を頭文字をとってmks単位系という。
本題ですが、質量の定義はコロコロ変わっています。このあたりの歴史を調べても面白いと思います。最古の定義は、質問文に書いているような水を用いたものです。数年前までは「キログラム原器」という世界に一つだけの「1kgの分銅」で定義していました。いくつかの国では、複製したものを厳重な警備のもと保有していました。
しかし、100年ほどの時が経ったことで、表面が変化して、指紋1個ほどの質量変化が起きていたので、もっときちっとした定義が必要だということで、最近になって質量の定義が変わりました。
現在の定義はプランク定数という定数を用いています。プランク定数自体は、理系の物理で最後の方に習います。1905年にアインシュタインが見つけた、光量子仮説に基づく式の比例定数がプランク定数です。ざっくり言うとめちゃめちゃ小さい世界の物理学に関するお話です。このプランク定数という値が6.62607015×10⁻³⁴ Js になるような質量を1kgとしているそうです。
質量数は、化学基礎の教科書に載っているから見て貰えれば良いと思います。端的に言えば、電子はめっちゃ軽いから原子の質量は、ほぼ陽子と中性子だけで決まるよね、っていうことからその2つの和を質量数と呼んでいます。
回答ありがとうございます！！
課題として配布されたプリントに
｢重さ(質量)はどうやって決められているの｣
と書かれていました。重さと質量の話は、中学で習ったものと違ったので私も少し疑問に思っていました！丁寧な説明までしてくださり、本当にありがとうございます。
私自身、結局何についてのレポートを書けば良いのかが明確に分からず…という感じで。白紙で提出するわけにもいかないので、とりあえず質量数について調べてプリントを埋めていこうと思います😥
他で調べたときには、難しくてよく分からない！という情報が多かったのですが、私でも分かりやすくて丁寧な説明をしてくださりありがとうございます！！
知ってる知識+インターネットで軽く調べた知識で解答しているので、全然間違えている可能性あります。もう一回ちゃんと自分で調べて、正しく文献を引用する方がいいと思います。