Question

みみ

図形と方程式の分野なのですがどのようにしてK＝4＋√14が第三象限にあると判断したのかわからないので教えて頂きたいです。

の
201
重要
例題
126 領域と分数式の最大・最小
00000
x,yが2つの不等式x-2y+1≦0, x²-6x+2y+3≦0 を満たすとき,
最大値と最小値,およびそのときの x, yの値を求めよ。
指針
連立不等式の表す領域 A を図示し,y-2
y-2
x+1
の
基本122
x+1 -=kとおいたグラフが領域 Aと共有点をも
つようなkの値の範囲を調べる。この分母を払ったy-2=k(x+1)は,点(-1, 2)
を通り,傾きがんの直線を表すから、傾きんのとりうる値の範囲を考えればよい。
CHART 分数式
y-b
の最大最小
y-b
x-a
=kとおき, 直線として扱う
x-a
x-2y+1=0
解答
とする。 連立方程式①、②を解くと
①, x2-6x+2y+3= 0
(x, y)=(1, 1), (4, 5)
ゆえに、連立不等式x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0の表
す領域Aは図の斜線部分である。 ただし,境界線を含む。
y-2=k(x+1)
③
y-2
=kとおくと
x+1
BECO
すなわち
y=kx+k+2
[最大]
R
y
③
P
1F
3-2
3章
1 不等式の表す領域
③は,点P(-1,2)を通り, 傾きがんの直線を表す。
図から, 直線 ③ が放物線 ② に第1象限で接するとき,k
この値は最大となる。
② ③からy を消去して整理すると
k(x+1)-(y-2) =0 は,
x=-1, y=2のとき
についての恒等式になる。
→kの値に関わらず定
点 (1,2)を通る。
い方法、
x2+2(k-3)x+2k+7=0
二線に
このxの2次方程式の判別式をDとすると
一程式は
D
0
=(k-3)2-1(2k+7)=k-8k+2
立してす
RAL
第1象限で接するときのkの値は
このとき、接点の座標は
直線 ③ が放物線 ②に接するための条件はD=0であるか
ら, k2-8k+2=0 より
k=4±√14
k=4-√14 0
求めら
小となる。このとき
(√14 -1, 4√14-12)第3象限で接する接線と
次に,図から、直線 ③ が点 (1,1) を通るとき,kの値は最
k=4+√14 のときは,
なる。
1-2
1
k=
1+1
2
k=y- 2
x+1
-473 に代入。
よって
x=√14-1, y=4√14-12 のとき最大値 4-√14;
x=1, y=1のとき最小値-
2
y-5
の最大値

Answer 1

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なゆた

③はPを通る接線なので
青い線のほうが傾きが大きいから
4+√14 > 4−√14
なので4+√14は条件に合わないと判断

という流れではないかと。

Answer 2

かんろ

https://www.geogebra.org/calculator
K=4±√14 を代入してグラフで確認してみて下さい。
③と②の接点ですが、放物線の頂点の接線（はx軸に平行な定数関数であるから）では無い意味として捉えて貰えると、2点接点があることが分かります。また、9<14<16より3<√14<4なので4±√14はどちらも正の数をとるので、③は単調増加のグラフになります。あとは2点の接点の位置がどちらの傾きをとるか、大小関係でほぼ自明で考えます。でもそんなことより③が点Pを必ず通る一次関数であることの方が重要な気がします！