Question

星光

青の所は0ではなく何故1にしているのでしょうか？
その場合の考え方など解説お願いします🙇

練習問題 8
次の関数の増減を調べ, y=f(x) のグラフをかけ.
(1)f(x)=x-6x2+12æ-7
精講
(2) f(x)=x'+x+1
231
3次関数のグラフは,必ずしも極値をもつとは限りません。グラフ
が極値をもたないようなケースを見ていくことにしましょう.
(1)f(x)=x-6.x2+12x-7
f'(x)=3x²-12x+12
=3(x-2)2
f(x) の増減は下表の
ように
IC
2
f'(x) +
0
+
f(x) >
1
7
グラフは右図のようになる.
(2) f(x)=x'+x+1
f'(x) =3x2+1
解答
y=f'(xc)
接線の傾きはx=2で 0
になるが極値ではない
+
20
+
y
2
IC
1
0
12
IC
y=f'(xc)
f(x) の増減は下表の
+
ようになる.
0
X
IC
f'(x) +
0
1 +
f(x) 7
1 7
-7
切片
x=0で接線の傾き
は最小値1となる
Y!
IC
第6章
グラフは右図のようになる .
コメント
接線の傾きが0になった
からといって、その場所で
極値をとるとは限りません.
(1)のグラフでは、x=2で
接線の傾きが0になってい
傾き 0
傾き 0
極大
極小
傾き 0
極値ではない
の途中にある 「休憩所」 のようになっています. このような場所は,極大でも
ますが,そこは「山の頂上」 にも 「谷の底」 にもなっておらず, いわば上り坂
極小でもありません。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

こたつみかん

まず「導関数f´(x)の符号」と「元々の関数f(x)の増減」の関係について確認しますね(知ってれば飛ばしてOKです)
f´(x)の符号が
①＋(正)→f(x)は増加(＝単調増加)
②0→f(x)は増加も減少もしません
(極(大/小)値、最(大/小)値などもここに含まれる)
③－(負)→f(x)は減少(＝単調減少)
となります。

さて、今回は(すべてのxにおいてx^2≧0は明らかなので)f´(x)が正とわかります。よって先程の①より、すべてのxにおいてf(x)は単調増加します。
増減表は…正直書かなくて良いと思いますよ。試験なら「すべてのxにおいてf´(x)＞0より、すべてのxにおいてf(x)は単調増加。」ぐらい書けば大丈夫だと思います。

ではなぜわざわざf´(x)＝1を書いたか。
それは、f´(x)＝1が、f´(x)の最小値だからです。
そもそもすべてのxにおいてf(x)は単調増加、という文言だけだと、どんなグラフか分かりません。
(y＝xとy＝x^3は、どちらもxの増加につれてyも増加し続ける、いわゆる単調増加の関数ですが、そのグラフは異なります。)
そこで、導関数f´(x)が接線の傾きを表す！という事を利用します。f´(x)の最小値は(x＝0で)1。
これは、y＝f(x)のグラフを書いた時、x＝0で接線が引けて、その傾きが1(最小)であることを示しています。つまり、y＝f(x)のグラフを、「x＝0で接線が引けて、その傾きが1(最小)である」という事実から、ひとつに定めているのです。

Answer 2

なゆた

f'(x)=3x²+1だから
f'(0)=3×0²+1=1

(1)なら
f'(x)=3(x−2)²だから
f'(2)=3×(2−2)²=3×0=0