Question

カイ

二次関数です、(1)のグラフが画像のようになるのは理解できたんですが(2)でこのように場合分けできて、グラフの形が画像のようになるのはなぜですか？

例題 67 定義域によって式が異なる関数のグラフ
について,次の関数のグラフをかけ、
(2x
(0 ≤ x < 1) JE
関数f(x)=14-2x (1≦x≦2)
(1) y=f(x)
(2) y=f(f(x))
思考プロセス
« Action 関数の値f(a)は、f(x)の式のすべてのxにaを代入せよ
対応を考える α が関数 f(x) になっても、同様に考える。
(2)
f(f(x))
f(f(x))
解 (1) y = f(x)のグラフは右の図。
(2) f(f(x))
(2 f(x)
(0 ≦ f(x) < 1)
14-2f(x) (1≦f(x) ≦ 2)
であり, (1) のグラフより
[2f(x)
よって
(ア) 0≦x<
3
=
2
[2 f(x) (0 ≤ f(x) < 1)
14-2f(x) (1 ≤ f(x) ≤2)
xの値の範囲に直す
Facti
1
3
(0<x< 1/1
2 ),
1
3
(4-25(x) (-/- ≤ x ≤ 1/2 )
2
f(f(x)) =2f(x) = 2.2x=4x
(イ) 1/12/1
≦x<1のとき, f(x) = 2x より
のとき, f(x)=2x より
3
() 1 ≤ x ≤ のとき, f(x)=4-2x より
2
<x≦2のとき,
⇒ (1) のグラフの利用
f(f(x)) =4-2f(x)=4-2・2x= -4x+4
2/2 < x≤2)
f(x) =4-2x より
f(f(x))=2f(x)=2(4-2x)
= -4x+8
(ア)~(エ)より, y = f(f(x)) の
グラフは 右の図。
15x5Z
f(f(x)) =4-2f(x)=4-2(4-2x)=4x-4
O 11 3
2
2
2
2
x
A
図で考える
0≤ f(x) <1,1≤ f(x) sz
となるようなの他の
囲をグラフから考える。
YA
2
O
1132
2
2
(ア) (イ) (ウ) (エ)
01
X
132
2
2
f(x) の式はx=1 を境
に変わる。
場合に分ける
0≦x<1... ① のとき
f(x)=2x
1≦x≦2... ② のとき
f(x)=4-2x
と変わるから, (ア)~(土)に
場合分けする。

Answer 1

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poppo

f(f(x))の中にあるf(x)から考えましょう。

0≦x<1の時　f(x)=2xなので、
f(f(x))=f(2x) となります。ここでさらに、

①0≦2x<1のとき、つまり0≦x<1/2のとき、
f(2x)=2･2x
②1≦2x<2のとき、つまり1/2≦x<1のとき、
f(2x)=4-2･2x

となります。残り二つの場合分けも同様に考えれば大丈夫です。

カイ

なるほど!ありがとうございます!