Question

あ

（vi）
逆関数g（x）の求め方が解答を見てもよく分かりません…。
どなたか解説お願いします。

ⅢI. 関数
f(x)=
の値を求めよ。
2(log x)2 + 5log x + 2
IC
について,次の問 (i) ~ (vi) に答えよ。 解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書くこと。
の値を求めよ。
(i) f(x)=0 となるxの値をすべて求めよ。
(1)-(BOX 530.313 31
(i) f'(x) を求めよ。
() f'(x)≧0となるxの値の範囲を求めよ。
(iv) f(x)の極大値と極小値をそれぞれ求めよ。
(v) (i)で求めた x の値の範囲において, f(x) = 0 となる x の値を a とおく。また,
f(x) が極大値をとるxの値を 6 とおく。このとき, aとbの値を求め,
25+
> 3 <= (@D
脚本平塚健
f(x)dx
(x > 0)
B
[₁9(x) dx
(vi) (x)の極大値を B とおく。 また, f(x) の定義域を (Ⅲ) で求めた範囲に制限した
関数を考え、その逆関数をg(x) とする。このとき、
AER
(ii)
(iii)
(iv)
(v)

って、OPP3 P2PsP4, .... Pax-21
る場合だから
m=n!
(v) 表と裏が”回ずつ連続する場合だから、求める確率は(r)
1
2 (2)(2) =
9₂²=
1
2"
(vi) 表と裏が1回ずつ出る事象が”回連続する場合だから、求める確率
(i) g2 より
Ⅲ 解答
2-1
f'(x)=
(2logx+1) (logx+2)=0 logx= --
2'
より
(i) f(x)=0 より
よって求めるxの値はx=e-le-2
すなわち 12/12/1 ･ ( )
'√e'
=
2 (logr)2+5logr+2=0
(4logx
15)
・+
X XI
ip!!!
SSS
{2(logx)²+5logx+2}' ·x− {2(logx) ²+5logx+2}
+²
f'(x)≧0-2(logx) -logx+3≧0」
-2
x-2 (logx)-5logx-2
⇒ (2logx+3) (logx-1)≦0
3
←! ≦logx1
U=cp0=jp
底e > 1 より 求めるxの値の範囲は
-2(logx)²-logx+3 (1)(2
+
20
eisise
OF
形にな
リコール
⇔2(logx)^2+logx-3≦0/4,400
OBSAN.2
すなわち
(iv) (i)より,x>0 におけるf(x)の
増減表は右のようになる。
増減表より, f(x)はx=eで極大
x=
1
eve
S(e) =2-1°+5･1+2_9
e
よって
1
=SxSe
eve
s(+1)=
で極小となる。
だから
a=-
よって
1
√e
また, (iv)より
b=e
2.
極大値
e
+5・
(
e
+2
45
8
(vi) 関数y=g(x)は,
て得られるから
X
∫'(x)
f(x)
²
=
=-eve
1
eve
(x=e). tilliti -e√e (x= -√2)
0
(1
(v) (i) のxの値のうち, (i)で求めた≤x≤e の範囲にあるのはx=-
eve
J's (x)dx=J+{2(logx) +5logx+2}(logxdx
5
= [(logr) ³+ (log x)² + 2logs
1
eve
0
極小 ♪ 極大
2.
+ 7
e
(答)
0
コー
- {1²-(-)) + 2/(¹¹-(-))+2{1-(-))}
449
VI
=≦x≦e において y=f(x)のxとyを入れ替え

y=g(x) ⇔ x=f (y) • ①
与えられた定積分において g(x)=yとおくと,B=f(e)だから,①より
√(7)-16)
@ (₂)\&ti#21 0<x (1) (2)
01
√e
よって, 求める定積分は
y
e
[__yf'(y) dy=[yƒ (y)] ₁ - f_ƒ (y) dy_ \ \\[\3+¹ 1³s
Te
Te
(iv), (v) I 9 ) + (-). S
=l
9 45
e
8
27
8
dx=f'(y) dy
(
(4)

Answer 1

exod

y=f(x)の逆関数は、xとyを入れ替えればいいだけなので、

x=f(y)･･･①

これをyについて解けば、g(x)はf(x)の逆関数なので、

y=g(x)となります。

あとは∫g(x)dxのdxを求めるために、①を微分して

dx=f'(y)dy

∫g(x)dx=∫y･f'(y)dy

となります。

あ

赤矢印のところから解説ってお願いできますか？

exod

(iii)の範囲で計算するので、(v)より、
f(1/‪√‬e)=0
f(e)=B(極大値)

∫[0→B]g(x)dx
=∫[f(1/‪√‬e)→f(e)]g(x)dx･･･①

x=f(y)を両辺微分して、
d/dx･x=d/dx･f(y)
1=dy/dx･d/dy･f(y)
1= dy/dx･f'(y)
dx=f'(y)dy

g(x)=y、dx=f'(y)dyを①に代入して、
∫[f(1/‪√‬e)→f(e)]g(x)dx
=∫[1/‪√‬e→e]y･f'(y)dy
(積分範囲はyなので、x=f(y)、fのカッコ内が積分範囲になります。)
あとは部分積分をしてください。