Question

s

左辺の最高次の項(赤線部)がなぜこれになるのか分かりません🙇🏻‍♀️

例題 186 関数の決定
xの多項式f(x) の最高次の項の係数は1で,
(x-1)f'(x)=2f(x) +8
がつねに成り立つ. このとき f(x) を求めよ.
考え方
まず, f(x) の最高次の項のみを考える.
また, 「つねに成り立つ｣ とは 「恒等式｣ ということである.
■解答 f(x) は定数関数にならないから、 最高次の項をx" (nは
自然数) とおくと, f'(x) の最高次の項は,
n-1
したがって, 与式の左辺の最高次の項は, nx" ・①
右辺の最高次の項は,
2x" ·.....
②
与式は恒等式であるから, ①, ②より, nx"=2x" も恒等
式となる.
よって, n=2
これより, f(x) は2次式なので, f(x)=x2+ax + b とお
くと,f'(x)=2x+α
与式に代入すると,
(x-1)(2x+a)=2(x2+ax+b) +8
(a+2)x+(a+26 +8) = 0 ......③
・③
③がxについての恒等式であるから,
a+2= 0, a + 26 +8= 0
したがって,
a=-2, b=-3
よって, f(x)=x²-2x-3
****
(南山大)
定数関数なら
f'(x)=0 より
f(x) = -4 となるが,
これは題意に反する.
最高次の項の係数は
1
f(x) をn次式とす
ると,f'(x) は
(n-1) 次式
③がつねに成り立つ
⇔ どんなxの値に
ついても③が成
り立つ
係数比較は必要十分
性をもつ.

Answer 1

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Tatsu 1126

f'(x) の最高次の項は nxⁿ⁻¹ より、

与式の左辺、つまり、(x-1)f'(x) ＝ xf'(x)-f'(x) の
最高次の項は、xf'(x) ＝ x･nxⁿ⁻¹ ＝ nxⁿ　です。

分からないことがあれば遠慮なく聞いてください。

s

理解しました。
ありがとうございます🙇🏻‍♀️