Question

たらこ

（2）についてです！この問題って初項k 公比1／4
の等比数列じゃないんですか？もし等比数列ならばなぜ和の公式が使えないの、そして等比数列でないのならなぜ等比数列でないとわかるのか教えてください！

基礎問
76 第4章 極 限
44 はさみうちの原理(I)
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ .
n
= 2 (14) - をnで表せ。
k=1
(2) 数列の和S=k
(3) lim Sn を求めよ.
n→∞
精講
(1) 考え方は2つあります.
I.(整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考え
(数
ⅡI.自然数に関する命題の証明は帰納法.(数学ⅡI・
(2) Σ計算では重要なタイプです. (数学ⅡI・B 120
S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。
(3) 極限が直接求めにくいとき ｢はさみうちの原理」という考え
bn≦an≦cn のとき
limb=limcn = α ならば liman = a
n→∞
この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にあた
す. (ポイント)
n→∞
n→∞

(i)n=k(k≧1) のとき, 2kk と仮定する.
両辺に2をかけて, 2k+1>2k
ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (k≧1 より )
... 2k+1>2k≧k+1 すなわち, 2+1+1
よって,n=k+1 のとき, ① は成りたつ .
(i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">nは成りたつ.
1 2
+ +
40 41
(2) Sn=
=
1S = 1/147
4¹
② ③
3
1
³-Sn = 40
4⁰ 4¹
·+...
Sn=
+
・+
ポイント
さらに, lim
n
42-1
+
n-1
An-1
n
+ 1/²
An
:: S.-16(1-(4)1-3-4-
9
(3) (1)より2">n だから, (27)2>n²
n
3
·②
n
4-1-³-Sm
An
3
-Sn=
#*#77
n
:. 4″>n²=0< < 1 2=0 < < 1/1
n
nº
16
lim (1)"=0 より lim S,=1
4
9
318
n→∞
1-(-/-)²
4
lim = 0 だから はさみうちの原理より lim
-
n→∞
n-00 N
n
n
An
n -=0
4n-1
極限を求める問題の前に不等式の証明があれば,
はさみうちの原理を想定する