Question

あおば

問題48が任意の実数xに対して成り立つの定義から理解できません。できれば、1から説明お願いします🙇‍♀️

(4) 4x² + 12x + 9 =
問題 48
次の不等式が任意の実数』に対して成り立つように,実数定数aの取り得る値の範囲をそれぞれ求めよ。
□(1) x2 + ax +3 > 0
☐(2) x² -ax+a>0
ロ(3) ax2-2x+a < 0
□ (4) ax2+(a-1)x+a-1>0
2次方
よ。
【例是
次の

関数のグラフを描く
(グラフの凹凸)に注意
ありません。
以下の通り。
Lo
3, 5 < x
の通り。
I
4
0
********
問題 48
y
-SS1
+12+90 (2+3)
≦0 ...①
のグラフは以下の通
9>0<
y=(x-3)2のグラフは以下の通り。
×
(28)
3-2
2-6x+90 (x-3) > 0 ...... ①
【KEY】
見かけの2次式に注意
3
T
I
①æは3以外の全実数・・・・・・(答)
【指針】
2次関数のグラフを描き, これと軸との位置関係, 頂点
I
の座標を用いて題意を言い換えましょう。
なお,「2次不等式」と言っていないことから,2の係数
が0のときがあり得ます。
【解答】
(1) f(x) =x2+ax+3とおくと
2
1(2) = (2+2) ² - ² + 3
であるから, y=f(x)のグラフは以下の通り。
VVV
O
常にf(x) > 0 となるための条件は、頂点のy座標が正
であること,つまり
+3>0 a²-12 <0
第29回 関数 (4) 解答
×
(a+2√3)(a-2√3) <0
(2) f(x)=²ax+aとおくと
⇒-2√3 < a < 2√√3
f(x) = (x - 2)²-2²+ a
であるから, y=f(x)のグラフは以下の通り。
VAN.
×
常にf(x) 0 となるための条件は、 頂点のy座標が正
であること,つまり
a²
+a>0 a²-4a < 0
4
a(a-4) <0
0<a<4 ......
(3) f(x) = az²-2x+α とおく。
(i) a=0のとき
×
f(x) = -2 となり, f(-1)=2>0となるので,
「常にf(x)<0」は成り立たない。 よって不適。
(ii) a>0 のとき
y=f(x)のグラフは以下の通り。
Vi
×
が十分大きいと f(x) > 0 となるので, 「常に
f(x)<0」は成り立たない。 よって不適。
(i) a<0のとき
I
97
f(x) = a (x - 1)² - 1 + a
なので, y=f(x)のグラフは以下の通り。
T
×
T
I
常に f(x) < 0 となるための条件は,頂点のy座標
が負であること,つまり
-+a<0 ⇒ −1+ a² >0 (: a < 0)
a
⇔ (a +1)(a-1) > 0
⇒ a < -1, 1 <a
これと a0との共通部分を求めて, a<-1

98
第29回 関数 (4) 解答
以上より
a<-1 ......(答)
(4) f(z) = ax2+(a-1)æ+a-1 とおく。
(i) a=0のとき
f(z)=-æ-1となり, f(0) = -1 <0 となるので,
「常にf(x)
0」は成り立たない。 よって不適
(ii) a <0のとき
y=f(x)のグラフは以下の通り。
が十分大きいとf(x)<0 となるので,「常に
×
f(x) 0」は成り立たない。 よって不適。
(ii) a>0のとき
2
a-1
f(x) = a (x + a_− ¹)² _ (a − 1)²
2a
4a
なので,y=f(x)のグラフは以下の通り。
I
×
VVV.
T
a> 1
(a-1)2
4a
×
常に f(x) > 0 となるための条件は 頂点のy座標
が正であること,つまり
+a-1
+a-1>0
⇔ −(a-1)2+4a(a-1)>0 (a>0)
⇔(a-1)(−a +1 + 4a) > 0
>a<-3,1 <a
これと a>0との共通部分を求めて, a>1
以上より

関数