Question

Rina

これらの問題をベクトルを使って解く方法を教えていただきたいです！
答えは
(1)1/10　(2)最大値2√5　最小値-2√5
です。よろしくお願いします。

4 (1) 実数x,yがx+3y=1を満たすとき, x2+y2 の最小値を求めよ。
実数x,yがx2+y2 = 4 を満たすとき, 2x+yの最大値、最小値を求めよ。

ベクトル

Answer 1

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Take

Rinaさま
以下、「ベクトル a」 を【a】で表す。内積の定義から
【a】・【b】=│【a】││【b】│cosθ
-1≦cosθ≦1より
-│【a】││【b】│≦【a】・【b】≦│【a】││【b】│
∴│【a】・【b】│≦│【a】││【b】│　←一般に k≧0 に対して│x│≦k ⇔ -k≦x≦k
両辺を２乗して
　│【a】・【b】│²≦│【a】│²│【b】│²
│実数│²=(実数)² より│【a】・【b】│²=(【a】・【b】)² であるから
∴(【a】・【b】)²≦│【a】│²│【b】│²　…①　←これは暗記しておくべき不等式です☆☆☆
なお、等号成立はcosθ=±1 のとき、すなわち、【a】//【b】のときです。
(1)【a】=(1,3) ,【b】=(x,y) を①に代入して
　(x+3y)²≦10(x²+y²)
　∴1≦10(x²+y²)
　∴x²+y²≧1/10
　(等号成立は (1,3)//(x,y) ⇔ k(1,3)=(x,y) ⇔ (x,y)=(1/10,3/10) のとき)　←条件 x+3y=1 に代入して求めます
　よって、最小値 1/10 (x=1/10 , y=3/10)　■
(2)【a】=(2,1) ,【b】=(x,y) を①に代入して
　(2x+y)²≦5(x²+y²)
　∴(2x+y)²≦20
　∴-2√5≦2x+y≦2√5
　(等号成立は (2,1)//(x,y) ⇔ k(2,1)=(x,y) ⇔ (x,y)=(±4/√5,±2/√5) (複号同順) のとき)
　よって、
　　最大値 2√5 (x=4/√5 , y=2/√5)
　　最小値-2√5 (x=-4/√5 , y=-2/√5)　■　　

Rina

ありがとうございます！！