Question

ミッフィー

赤線部分がわかりません。(2枚目)
なぜ急にこのような式が出てきたのですか？　
なぜこの式を使うと5^4x-2^5y=1の解が出てくるのですか？1枚目は導入部分です。

数学Ⅰ・数学A 第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第4問 (選択問題)(配点20)
(1) 54 = 625 を24で割ったときの余りは1に等しい。 このことを用いると,
不定方程式
5x-2'y=1
の整数解のうち,xが正の整数で最小になるのは
である。
x=
ア
であることがわかる。
また, ① の整数解のうち、 xが2桁の正の整数で最小になるのは
x= エオ , y = カキク
(2)次に,625" を 55 で割ったときの余りと, 25 で割ったときの余りについて
考えてみよう。
まず
625² = 5
y=イウ
|ケ
625² = 2
であり,また,m= イウとすると
ケ
コ
m² + 2 m+1
である。 これらより, 6252 55 で割ったときの余りと, 25 で割ったときの
余りがわかる。
- 56 -
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
(2104-56)

(3) (2) の考察は, 不定方程式
55 x - 25 y = 1
の整数解を調べるために利用できる。
x,yを②の整数解とする。 55xは5の倍数であり, 25 で割ったときの余
りは1となる。よって, (2) により, 5x-6252 は 55 でも25でも割り切れ
る。 55と2は互いに素なので, 5x-6252は5・25の倍数である。
このことから,②の整数解のうち、 xが3桁の正の整数で最小になるのは
x = サシス
であることがわかる。
である。
(4) 11 を 24 で割ったときの余りは1に等しい。 不定方程式
y セソタチツ
115 x 25 y = 1
の整数解のうち, xが正の整数で最小になるのは
数学Ⅰ・数学A
x= テト y = ナニヌネノ

Answer 1

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きらうる

これでわかりますか？

ミッフィー

理由は理解できました！
追加で申し訳ないのですか、(4)の解法を教えてくれませんか？わがまま言って本当にすみません、、

きらうる

11⁵x-2⁵y＝1…*
(1)～(3)で行ったことと同じことをしていきます。
11⁴x-2⁴y＝1…※
から、11⁴を2⁴で割ると
11⁴÷2⁴＝915…1から、
11⁴＝2⁴×915+1
915＝mとすると、
11⁴＝2⁴m+1　を利用して
11⁸＝(11⁴)²＝(2⁴m+1)²
　＝2⁸m²+2⁵m+1
よって、11⁸を11⁵で割った余りは0、2⁵で割った余りは1となるから、
*は、11⁵xを11⁵で割った余りは0、2⁵で割った余りは1となる。これより
11⁵x-11⁸は11⁵でも2⁵でもわりきれることから、
11⁵x-11⁸＝11⁵・2⁵n
両辺を11⁵で割ると、
→　x-11³＝2⁵n
→　x＝32n+1331
1331＝32×41+19から、
→　x＝32n+32×41+19
→　x＝32(n+41)+19
よって、n＝-41のとき、x＝19であり、*に代入し
11⁵・19-2⁵y＝1
→　y＝95624

2年前の過去最凶の共通テストでしたね…。

ミッフィー

ありがとうございます！
本当に助かりした！

きらうる

ちなみに、本番でこのような問題が出題されたら、私は上記のような解き方はしません。実際、当時に解いたときには、ゴリゴリにユークリッドの互除法で解きました。上記のような解き方を考えるよりよっぽど速いですからね。