単に記号操作として記述すればよく、内容はありません。形式的な問題です。
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fの像Im(f)がVの部分空間であること、を示すには、任意のスカラーa,bと､任意のIm(f)の元x,yとに対して､
ax+by∈Im(f)
0∈Im(f)
を示せばよい。
x,yはIm(f)の元なので、Uの元としてu,vを考えてみれば
x=f(u),y=f(v)と表せる。
写像の定義より､
ax+by = af(u)+bf(v)=f(au+bv)
そもそもau+bv∈Uが成り立っているから、
ax+by∈f(U)=Im(f)
また､f(0)=0より､0∈Im(f)
よって、Im(f)はVの部分空間である
このあたりの意義付けから入ると掴みやすいように思います。
https://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q11116309546
Imは、線形写像の像とよばれるものです。
平たくいうと、関数の出力側です。つまり（定義域に対して）値域にあたります。
ありがとうございます(^O^)
そうなんですね！ありがとうございます。
あと、Imって何なんですか？イマイチ分かりません…