Question

くま

微分の最大値、最小値の問題です。(1)の1≦aで単調減少なのに、最小値が1なのは何でですか？あと(2)で赤線を引いたところはそういう定理ですか？解説お願いします🙇‍♀️

の
1
148 a>0とする。 関数 f(x)=x-3ax (0≦x≦1) について
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。
ポイント④
f(x)の極小値が区間 0≦x≦1 内にあるかないかで, 最小値が
変わる。最大値は,区間の両端の値f (0) f(1) を比較して求
める。

148 f'(x)=3x2-3a²=3(x+a)(x−a)=
f'(x) =0 とすると
また
(1) [1] 0<a<1のとき
x=±a
f(0) = 0, f(1)=1-3a2, f(a) =-2a3
0≦x≦1における f(x) の
増減表は、右のようになる。
よって, f(x) は
x =αで最小値-2a3
f'(x)
f(x)
x
(2) x≧0 における f(x) の増減表は,
右のようになる。
0
よって, 0≦x≦1において, 最大
値は f(0) または f (1) である。
f(0) - f(1) =0-(1-3a²)
a
0
0-2a³7
...
-
よって, f(x) は x=1で最小値 1-3α² をとる。
をとる。
[2] 1≦a のとき
0≦x≦1において, f'(x)=3(x+a)(x-a) ≧0であるから, f(x) は
単調に減少する。
x 20
f'(x)
f(x)
= 3a²-1=3(a+√3)(a-√3)
/+ :
0
COU
-
1-3a²
1
a
0
S 0-
+15
-2a³1
***
[1] 0<a</1/13のとき f(0) <f(1)
よって, f(x) は x=1で最大値1-3αをとる。
1
[2] a=- のとき f(0)=f(1)
/3
よって, f(x)はx=0,1で最大値 0 をとる。 (8+x−
1
[3]
<a のとき
f(0) > f(1)
√√3
よって, f(x)はx=0で最大値 0 をとる。
ex-0="00-

Answer 1

exod

(1)単調減少なので、区間の右側のx=1で、最小値です。

(2)定理というか、0≦xで、f(x)は下凸の形をしているので、f(0)かf(1)が最大値になります。

くま

1≦aなのに区間の右側はaじゃなくて1なんですか？
(2)は理解出来ました！ありがとうございます🙇‍♀️

exod

定義域が0≦x≦1なので、a(≧1)は区間外になるので、x=1で最小値です。

くま

なるほど！わかりました！ありがとうございます🙇‍♀️