Question

MathLove

この問題に関してです。(1，4)での微分可能性を言えたところで(1，4)での連続性しか言えず[1，4]での連続性は言えていないと思います。したがって平均値の定理を使うには不十分に感じます。なぜこれで良いのでしょうか？

基本例題
(1) f(x)=2√x と区間 [1, 4] について,平均値の定理の式
Desp
a<c<bを満たすcの値を求めよ。
平
x
0を正の数α ん で表し, lim 0 を求めよ。
h-+0
(1-6)
(2) f(x)=(x>0)のとき, f(a+h) f(a)=hf'(a+0h), 0 <0 <1 を満たす
指針 いずれも定理の式に当てはめて計算を進めればよい。
(1) 平均値の定理 関数f(x) , [a,b] で連続, (a,b) で
微分可能ならば
f(b) f(a)=f'(c), a <c<b
b-a
を満たす実数cが存在する。
まず,f'(x) を求め, 定理の式にa=1, b=4 を代入。
解答
(1) f(x) は区間 (1.4)で微分可能で f'(x)=√x
平均値の定理の式 (4)-(1)=f'(c) を満たすの値は,
4-1
12-1から 3
√c=
9
3
2
C==
DO
b-a f(c),
ゆえに
f(b)-f(a)
p.291 基本事項 [2] 重要 173
y=f(x)
C
<平均値の定理を使用するので、
定理が使える条件を断ってい
る。 なお、 微分可能連続
であるから、 微分可能性を示
すだけでよい。

Answer 1

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甘味

平均値の定理を使うには開区間での微分可能が見出せれば十分なのは意味を考えると明らかだと思います。
そもそも定義域の端点において引ける接線は無限にあり、平均値の定理において求める微分係数が一意に定まるには端点を除く必要があります。

MathLove

回答ありがとうございます。端点で連続でない場合には開区間で微分可能であっても平均値の定理は成り立たない場合があると思います。なのでこの記述では不十分に感じます。何か私の考えに間違えがあればご教授お願いします。

甘味

当然、端点で連続でなければ平均値の定理は成り立ちません。しかし、微分可能が見出せれば十分というのは定義から明らかです。開区間内の任意のxにおいて、微分係数が存在するとするならば、lim[h→-0]f(x+h)-f(x)/hとlim[h→+0]f(x+h)-f(x)/hが一致するはずであり、つまりこれは開区間の端点においても成り立つことより、微分可能が見出せれば閉区間においても連続であることは分かります。

MathLove

なるほど！ありがとうございます！