Question

はみるのん

【微分積分学基礎】
赤の〰️はなんの事ですか？急に出てきて分かりません💦

① 次の関数の極限を求めよ、
lim
xyz
(1)(x)→(10) X2+y2.
x=0、y=0、Y=Xに沿った極限を考えると、
いずれも極限値は0である。従って、もし極限が
存在するならそれは0でなければならない。
xyz
xy²
5 ₁ - 0 | - | 22 Y = | ≤
²
x² + y²
((x,y) → (0.01)
ここで、極座標変換(x,y)=(rcosersing)を
xy2
用いた。以上より lim
(2)(
極限値は0である。
lim
(XY) (0.0)
(x,y) = (0-0) X²³² + y²
考えると
f(xy) = sinay
lim
(x,y)=(0.0)
X=0
sinxy
x² + y²
auty とおく.
sinxy
x2+y2
O
y²
recosasiner
二〇が成立するので
x=0に沿った極限を
また、x=りに沿った極限を考えると
blim
-Sinxy
(my)=0.0) x2+y2
X = Y
=
@_sing - DỊsing
2
2x²
X²
=
77.
2
したがって2つの直線に沿った極限が異なるので
(x)→(0.0)のときの関数f(xy)の
極限はなし、
これは何ですか?

Answer 1

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すけ

赤波線の2行下に｢ここで、極座標変換(x,y)=(rcosθ,rsinθ)を用いた｣とあります。
x=rcosθ、y=rsinθを代入すると、赤波線が出てきます。

はみるのん

なるほどです！でてきました！ちなみになぜ≦なのでしょうか？代入しただけなので🟰じゃないんですか？

すけ

代入したところの≦は分からないです。
ミスなのかな？と思います。

≦rのほうは、
|sinθ|≦1、|cosθ|≦1より|rcosθsin^2θ|≦rとなります。

はみるのん

なるほどです。一度先生に聞いてみます！丁寧な解説ありがとうございました！