Question

Hi（受験生）

55.2
値の知れないQ(x)を消したいからx^2-1=0としたいけどx=iと置いていいのか躊躇しました。求めるxが整数、自然数、有理数とか書いてなければx=iとおいてもいいのでしょうか？

-3x+71
求めよ。
る。.........
-1)(x-2)
りを考える。
った余りは、
弐または定数
て
1,2
b,cの値
りを見つける
1式)から
■ち b=3
ここの練習5
効である。
を
ったときの
すると,
(-2)(x)
2) +R(x))
a)+R(
代入。
5であ
38 ►
重要 例題 55 高次式を割ったときの余り
(1
x"-1 を (x-1)²で割ったときの余りを求
2以上の自然数とするとき,
めよ｡
(23x100+ 2x7 +1 を x2 +1 で割ったときの余りを求めよ。
指針 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように,
① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用
R の次数に注意, B=0 を考える
がポイント。
(12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。
そこで、 次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1
α-b²=(a-b)(a-1+α-26+α"362+..+ab^2+b^-1)
|x-1=(x-1)'Q(x) +ax+b••••• ①
(2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件
A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0
を利用。
両辺にx=1 を代入すると
①に代入して x-1=(x-1)*Q(x+ax-a
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
解答
(1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b 解 (1) 二項定理の利用。
とすると,次の等式が成り立つ。
x-1={(x-1)+1}"-1
0=a+b すなわち b=-a
ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+・・・・・・+1) であるから
xn-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α
この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α
a=n
よって
b=-αであるから
ゆえに, 求める余りは
nx-n
(2) 3x100+2x+1 を x² +1 で割ったときの商をQ(x), 余りを
ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。
3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b
00000
3・1+2i+1=ai+b
4+2i=b+ai
n
両辺にx=i を代入すると 3i100+ 27 +1=ai+b
i100= (i2)50=(−1)=1, "= (i²) i=(-1)*i=i であるから
すなわち
a,b は実数であるから
したがって 求める余りは 2x+4
[学習院大 ]
a=2, b=4
b=-n
基本 53.54
=Cn(x-1)^+..+n Cz(x-1)2
+mCl(x-1)+1-1
=(x-1)^{(x-1)^^2+..+°Cz}
tron
ゆえに, 余りはnx-n
また, (x-α)の割り算は微
分法(第6章) を利用するのも
有効である (p.305 重要例題
194 など)。 微分法を学習す
る時期になったら,ぜひ参照
してほしい。
x=-iは結果的に代入し
なくてもよい。
実数係数の整式の割り算で
あるから、余りの係数も当
然実数である。
練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。
(p.94 EX39
55 (2) xlo+x+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。
91
2章
10
剰余の定理と因数定理