Question

やまもと ばなな🐤

98の（2）です
解答の証明とは違いますが、これでも証明できていますか？

1+2+
コース
上のときにちは成り立つ。
-3h+h³>0
1+3h2
の差を考えると、
う
(0)
2
(1+4)*¹1+*+*
きにも成り立
+16 DAM -
(15 (2) #5
EAN (2) 84+6-31m
くさむ様に
よって、(A)は成り立つこ
5461-31m
1=2 3 41
-5-31m+31-6-31(5m +61)
5m +62-1は散であるから。
31で割り切れる｡
よって、+1のときにも(A)は成り立つ。
(1) から すべての自然数について(A)は
(271149で割り切れる」 (A)とす
(2)
[1]x=2のとき
2-7N-1-2¹²-7-2-1-49
よって、n=2のとき、(A)は成り立つ。
て,n=kのとき (A) が成り立つ。
すなわち2-7k-1は49 で割り切れると仮
定すると、 ある整数を用いて次のように表
される。
2-7k-1=49m
n=k+1のときを考えると
236+1-7(k+1)-1=8-2-7k-8
=8(2-7k-1) +49k
=8.49m+49k
=49(8m+k
はまり
①が成り立つ、すなわち、
k+2②
+2(+1)+1
³+4+3(+1).
両辺をx+1(0) で割ると
すなわち (+1(+3)(k+1
ai +3
よって、nak+1のときにも①は成り立つ。
1 (2) すべての自然数nについてのは
指
であるから、nwk.k+1の場合をして､
nk+2の場合を示す。 したがって、前段階。
***² +*+²=(x²+¹+x²+³)(x+y)-xxx²+x²
では、n=2 の場合を示す。
x+y=x+y
x+y=(x+y-2xy
n=2のとき
x+y.xyはともに整数であるから､n=1.2
(2)n=k,k+1のとき, x+y" が整数である。
のとき, x+y" は整数である。
すなわち, x+y+y*+3はともに整数
であると仮定する。
n=k+2のときを考えると
x²+² + y² +2
連続する整数
連続する m個の整数には、必ずmの倍数が含まれるから、それらの積は3の倍数である。
参考km (kは自然数とすると,連続するn個の整数には、必ずんの倍数が含まれる
から,それらの積はkの倍数である。したがって、連続するm個の整数の積は!
の倍数である。
STEP B
97(1) 整数nを2で割った余りで分類することで3²-nが2の倍数である
ことを証明せよ。
[2]
(2) 整数nを3で割った余りで分類することで,n-n+9が3の倍数であ
ることを証明せよ。
=(x+y+1)(x+y)-xy(x+y^)
仮定より ++++y*は整数であり
x+y, xy も整数であるから+y+2は整
数である。
98 nは整数とする。
(1) 連続する2個の整数には、必ず2の倍数が含まれることを利用して,
n²+3nが2の倍数であることを証明せよ。
(2) 連続する3個の整数には,必ず3の倍数が含まれることを利用して,
4n²+3m² +2nが3の倍数であることを証明せよ。
ずと
951
[1
12
9
nは自然数とする。 6" +4=(5+1)" +4 と変形することで, 6 +4が5の倍数
であることを,二項定理を利用して証明せよ。

***+ **)
前段階
-2xy
1.2
+y**²は整
34. 34+1, 34+2
あいずれ+2
[1] のとき
+9:34) 34+900
(2)=34+1のとき
394 +94 +224 +3
+2(34+2+税
-394+184 +11+5)
98 (1) ²+3=w+3)+1)+2)
(+1)+2
+1は連する2個の整数であるから、そ
の中に2の倍数が含まれる。
よって、その12
ゆえに、+1)+2は2の
である。
であるから
(2) 4x³+3M² + 2MN4M³+3+2)
月 (²+3+2)+3m"
+1+2)+3枚入
する3個の整数であるか
+1,+2
ら、その中に3の倍数が含まれる。
よって、その積+1+2)は3の
B
ゆえに、+1xn+2)+3²は3の倍数である
から、4+3 +2は3の倍数である。
(98) (1) n²t3h =
48
PRECAUCI
P
103.1112
ho-n+9=8-2+9=150fmad3)
(iⅰ)~(iii)より、3-n+9は3の倍数
(3)
n(n+1)は2の倍数.
またこれも2の倍数だから
よって、びらんはんのイ
n²t³h = nt 2n th=n(n+1) tan
連続する2個の数には必ずこの倍数が含まれるので、
n(n+1)+は2の倍数
4h²73h² t2n = 4 h (h+l) (h+²) =qn²=6 h
4^(n+1) (+2) -3(3n+2)
連続する3個の整数には3の倍数が必ず含まれるため、
4 n(n+1)(n+z)は3の倍数
また
4h(ntl) (htz) - sh(3n+²) 1230 TER
よって、
なんばるの倍数
3 n (3h+²) = saret tib'7

。
#)
形に表される。
[3]
n=3kのとき
n-n+9=(3k) -3k+9=3(9kk+3)
[2] n=3k+1 のとき
n-n+9=(3k+1)-(3k+1)+9
=309k^²+9k+2k+3)
n=3k+2のとき
n³-n+9=(3k+2)-(3k+2)+9
=309k + 18k²+ 11k+5 )
よって、 いずれの場合も、n-n+9は3の倍数
である。
98 (1) n²3n=n(n+3)=n{(n+1)+2)
=n(n+1)+2n
n, n+1は連続する2個の整数であるから, そ
の中に2の倍数が含まれる。
よって, その積n(n+1)は2の倍数である。
ゆえに, n(n+1) + 2nは2の倍数であるから,
n2+3nは2の倍数である。
(2)
4n3+3n²+2n=n(4n²+3n+2)
STEP A・B、発展問題
=n{(n²+3n+2)+3n²}
=n(n+1)(n+ 2) + 3n3
n,n+1,n+2は連続する3個の整数であるか
ら,その中に3の倍数が含まれる。
よって, その積n(n+1)(n+2)は3の倍数であ
る。
ゆえに, n(n+1)(n+2)+3m²は3の倍数である
から4n3+3n²+2は3の倍数である。
8-2+9
(1)~(iii)より、3-n+9は
1) N²73h = nt 2n th=h
連続する2個の数には