Question

みみ

私はこのようにしてといたのですが、答えが違いました。何故この解き方では行けないのか教えて欲しいです。

=
100/20
EX nは自然数とする。3本の直線3x+2y=6n, x=0, y=0 で囲まれる三角形の周上および内部に
72
あり、x座標とy座標がともに整数である点は全部でいくつあるか。
[大阪府大]

[商大]
fo
公比
の
会比
2y=6h-32
直線3x+2y=6n (nは自然数)
とx軸,y軸との交点の座標はそれぞ
れ (2,0),(0, 3n) である。
直線x=k(k=0,1,...……, 2n) と,
①の交点の座標は (k3n-2/2k)
[1] kが偶数のとき
k=2i(i=0,1,
….y=3n-2/k
..…….., n) とすると
3
2
[2] kが奇数のとき
k=2i-1 (i=1, 2,
66
i=0
3n-3i+
3
3n--k=3n- ･・2i=3n-3i (整数)
よって,直線x=2i 上の格子点は, (2,0), (2i, 1), …
(2i3n-3i) であるから
+y
3n
(3n-3i) -0+1=3n-3i+1個ある。
Shera
[1] [2] から求める格子点の総数は
(3n-3i+1)+(3n-3i+2)
i=1
3
2
3n-3i
n) とすると
3
3n- -3k-3
k=3n-
n-02/12 (2i-1)=3n-3i+
2
0
20+
2
よって,直線x=2i-1上の格子点は, (2i-1,0),
n
=3n+1+Σ(6n-6i+3)
i=1
(2i-1, 1), ......, (2i-1, 3-3i+1) であるから
26
i=1
=3n+1+(6n+3)21-6Σi
(3n-3i+1)-0+1=3n-3i+2個ある。
2i-1
2n
座標平面において
座
標、y座標がともに整数
である点を格子点とい
う。
tiron
- ³/1/k
←交点のy座標 3n-k
が整数になるかならない
かで場合分けして考える。
←x軸上の点も入る。
1/12 (2n+1)(3n+1)+(n+1)}=3n²+3n+1(個)
7 1. 3, 5, 7, 9, 1,
数学B423
AS)(1+A)A-—-
←x軸上の点は入るが,
直線①とx=2i-1の交
点は入らない。
(12an+2.6k
k=1
1 (1+5)=2(a+bu)
k=1
i=1
=3n+1+(6n+3) •n-6 - -/-/-
5. n(n+1)
=3n²+3+1(個)ないて整数にならない
別解 線分 3x+2=6n (0≦y≦3n) 上の格子点 (0, 3n),
(2,3n-3),
(20) の個数は
n+1
4点(0,0),(2, 0) (2,3),(0, 3m) を頂点とする長方
形の周上および内部にある格子点の個数は
(2n+1)(3n+1)
3nt\
(1+AS)(1+1)
よって、求める格子点の個数は
←第1項のi=0 の場合
だけ別に計算。 また
OASI-I8-01-21-
3n
3
2+1(15)
3章
EX
0 24････
2n+1
数
2n2
列
2n
について,次の問いに答えよ。
〔名古屋市大

3n
h = /h(h+¹)
[v
2h
24/7 (3h+1)
2h
2/3 thai thì
3h² + 3h+ 2h
2
3h² + 5h+-
21

Answer 1

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exod

kが偶数のときと奇数のときで、個数の数え方が異なるからです。
kが偶数(k=2i)のときは、①とx=kの交点が整数になるので、個数は0~(3n-3/2k)の個数をそのまま数えればいいですが、
kが奇数の場合(k=2i-1)は、①とx=kの交点が整数にならないので、交点のy座標の下の1番近い整数のy座標から数えないといけません。
例えば、x=k=3のとき、交点のy座標は3n-9/2になりますが、これは整数ではないので、個数として数えてはいけません。その下の1番近い整数である、3n-8/2 (3n-4)から0までの個数を数えることになります。

質問者さんの回答についてですが、nは定数で変化しません。なので、①のグラフが上下に動くわけではないです。
nは決まっており、三角形の形は変わらないです。
3n+1はx=0のときの個数しか表しておらず、それをシグマで計算しても、一辺が3nの長方形内の格子点の数がでてくるだけです。
さらに∑[k=1〜2n](3n+1)とkで計算しているのですから、nを1/2n(n+1)と変形してはいけません。