Question

ぴひょ

常用対数について、(2)の後ろから7行目の部分で10^47<N<10^48とするところがなぜ大丈夫なのか分からないので解説して欲しいです。
変数の範囲を狭くするようなものなら大丈夫だろうなと思うのですが、これだとNの範囲が広まっている気がして納得できません。

logo30.4771 とする。
(1) 3" が 10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。
(②2) 3進法で表すと100桁の自然数Nを10進法で表すと何桁の数になるか
基本18
指針 (1) まず, 3" が 10桁の数であるということを不等式で表す。
3ケタ (2)
100 a povo
10'SNS 10°
進数Nの桁数の問題 不等式2桁-1≦N <k血数の形に表す
10進法で表したときの桁数を求めるには,不等式①から, 10″ 'N <10” の形を導き
に従って、問題の条件を不等式で表すと
たい。 そこで, 不等式 ① の各辺の常用対数をとる｡
(1) 3" が 10桁の数であるとき
各辺の常用対数をとると
ゆえに
・・・･･･改訂版チャート式基礎からの数学A 基本例題 142 参照。
3100-1≤N<3100......
9≤0.4771n<10
9
20.4771
{n<
10% 3" <10¹0
9≤nlogio3<10
10
10.4771
よって
したがって
18.8≦x< 20.9••••••
この不等式を満たす最小の自然数nは
n=19
(2) Nは3進法で表すと 100桁の自然数であるから
300SN <
すなわち 399 ≦N <3100
各辺の常用対数をとると
9910g10310g10N <10010g 103
99×0.4771 log10N <100×0.4771
ゆえに
すなわち 47.2329 Mlog10 N <47.71
よって 1047.2329 ≦N < 1047.71
ゆえに 107 <N1048
したがって, Nを10進法で表すと, 48桁の数となる。
別解 10g10 3=0.4771 から 100.4771=3
ゆえに,398 N <3100 から (100.4771) 99 ≤N<(100.4771) 100
よって [047.2329≦] < 1047.71
ゆえに
107 <N<1048
したがって, Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。
Nがn桁の整数
→10"-¹N<10"
この不等式を満たす自然
は,n=19, 20 であるが
「最小の」という条件が
るので, n=19が解。
p=log. Ma'=M
議できる大きな数に
変換している

Answer 1

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和

いや、この場合、変数の範囲を狭くするほうが問題でしょう
x=1,2,3,4,5,6だったものを、勝手に
x=2,3,4に限定したらまずいでしょう
可能性の残っているものを無根拠に切り捨てることだから…

無闇に広げるのも何ですが、
広げる分には、あとで何らかの方法で狭めるとか、
広げても答には影響しないならいいですよね

本問はまさに広げても桁数には影響ない例です
30≦N<70のとき、
10<N<100だから、Nは2桁
これと同じですね

ぴひょ

桁数に影響が出ない例（30-70）は理解できましたが、例題の方で考えるとやっぱり整理できませんでした。
不等式の範囲みたく変数の範囲が狭まる分には大丈夫だと思っていました。不等式はどうしてこれが大丈夫なのですか？

和

30〜70の話がわかったなら、それとまったく同じ話です

10^47.2 ≦ N < 10^47.7のとき、
10^47 < N <10^48
10^47は48桁最小の数、10^48は49桁最小の数だから
nは48桁というだけなのですが…

変数の範囲を狭くする分にはOK
という前提が私にはいまのところピンときません
それが成り立つ文脈を挙げてください

状況的には変数の範囲を狭くすることもあるかもしれません
しかし、それはいつでも成り立つことではありません
その時々の根拠があってやることです
少なくとも今回、狭めていい根拠がありません
というか狭めたところで何も言えないからです
狭めたから48桁、でも元の数が何桁かはわかりません

「Nの範囲を広げても必ず48桁だからもとのNも48桁」
という確かな理屈があるからやっているのです
「こういう問題ではこうする」という暗記ではなく、
その都度頭を働かす必要があると思います

ぴひょ

なるほど、ありがとうございます。問題の指数が整数ではなく小数でNが何者か想像出来ていませんでした。（指数の小数部分が何であろうが48桁と考えられませんでした。）

変数の範囲を狭くする…については、写真のような対数方程式の真数条件の確認からxの範囲を求める時範囲の共通部分を考える（○∩△のような考え方）ので、xの範囲が狭くなっているかなと思いました。

和

それは範囲を広くとか狭くとかいう話とは
だいぶ違うと思いますが

単に2つの対数が存在する必要十分条件が
x>0かつx-2>0 ⇔ x>2
というだけです

x>0しかない状況からx>2になったなら
狭まったといえますが、
もともと「x>0かつx>2」だったのを「x>2」という必要十分条件に言い換えただけだから、話が違うと思います

本来の問題はNの範囲を広げて（必要条件を求めて）、
それすら「48桁」を満たしているから、
Nの範囲も「48桁」を満たすということですよね

ぴひょ

ありがとうございます。x>0からx>2になると感じていました！本来の問題について(「それすら『48桁』を…」)も必要十分条件であるのを示した説明ですか？そうならば、本来の問題と対数方程式の範囲についての問題では必要十分条件を示すタイミングが違うということですか？

和

直近のコメントに書いた通り、必要十分条件ではありません

10^47.2 ≦ N < 10^47.7がもとの条件pだとしたら、
10^47 < N <10^48は
pの必要条件ですが十分条件ではありません
pの必要条件を満たす数が必ず48桁に確定するのだから、
より狭いpを満たすNは必ず48桁だという理屈です

ぴひょ

あぁなるほど！つかめました！！丁寧に説明してくださって本当にありがとうございます。

和

難しいですよね
でも問題ごとによくよく考えてときほぐしてみると、
シンプルな考え方に行きつきます
日ごろ考えた経験量が確実に血肉になっていってますよ

ぴひょ

ありがとうございます！