✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
このような問題を解くにあたって、Snの計算をする前に
「この数列の第k項は？？である。」
「よって、求める和Snは」
と書く必要があるのかないのかはわかりません。
数学の先生に聞いてみてください。
今回の回答では、そういった文言は省いています。
まず、（1）も（2）も第n項が問題に表してあるので、自分で考える必要はありません。もし問題に書いていない場合は、1番目から3番目の項を見て、規則性を見つけ出してください。その後、自分で第n項を表し、「第n項は？？である」と解答に書いてください。
計算の説明に進む前に、記号Σ(シグマ)について説明します。
今回の質問のような、数列の和Snを求めるとき、記号Σ(シグマ)を使います。
記号Σの累乗の和の求め方や性質は画像1枚目と2枚目に示してある通りです。これはおそらく教科書にも載っているはずです。
（なお、Σの横に文字や数字がきても、その文字または数字の符号がプラスであれば、文字や数字にかっこをつける必要はありません。解説用の画像の中でかっこがついているのは計算アプリの仕様です。かっこが必要な場合は、Σの横に符号がマイナスの文字または数字くる場合です。）
そもそも、Σとはある値からある値までの和を表しています。
この表現だと抽象的なので、表現を変えます。
解説用の画像を見ると、Σの下にk=1、そして上にはnと書いてあります。
これは、Σの横にくる文字などの、1からnまでの和を意味しています。
Σを使うことで、1からnまでの足し算を長々と手書きで書く手間が省けます。
「いやnだからそうなってるだけで2とか3だったらそのまま書いた方が早いんじゃないの」とか言う人がいそうですが、Σの上にくる数字が100や1000の場合でも、その人は同じことが言えるでしょうか。いいえ、言えません。
nの場合は尚更です。
そういった手間を省くことができるのがΣです。
では、（1）の解説に進みます。
冒頭に書いたように、問題に第n項が示してあるので、Σを使った計算に入ります。
3k(k+1)を分配法則を使ってかっこを展開し、kの2乗とkの係数である3をそれぞれのΣの左にもってきます。
そして、kの2乗とkのΣを共通因数3でくくります。
（わかりにくければ、3a+3b=3(a+b)のように考えてください。）
あとは、累乗の求め方を参考に、nについての式を整理していきます。
分数や累乗が出てきて難しく感じるかもしれませんが、楽な方法を考えながら計算すると簡単です。
愚直に計算することはしないでください。
計算しやすいように、または計算しやすい順にかっこを展開したりして、式を整理していきます。
あとで通分する必要がある項同士は、先に分母を合わせておくと楽です。
そして、和Snの答えが出たら、解答欄に書く必要はないのですが、時間に余裕があれば、念のため自分の出した答えが合っているか確認します。
「第1項は？で、第2項は△。」→合っているなら次の問題にいきましょう。
（2）の解説に進みます。
第n項はわかっているので、計算に入ります。
途中までは、計算ミスがないように意識しながらシンプルに解いていくだけです。
式を整理できたら、自分の解答が合っているかの確認のための計算をしやすくするために、分母を6で揃えて、共通因数6分の1でくくります。
そうすると、6分の1でくくる前と比べてとても計算しやすくなります。
解説は以上です。
すみません。
（2）の式ももう少し整理できました。
最初の回答のままでも、すべての次数のnの係数げ分数だった時よりも計算しやすくなっていますが、因数分解した方が計算しやすいです。
すごく丁寧な解説ありがとうございます
助かりました
（1）の和Snの解答は、画像のように整理した方が計算しやすいです。
因数分解できるかどうか、共通因数でくくれるかどうか考えてみるといいかと思います。
ただ、あまり時間を取りすぎないほうがいいです。