Question

はる

「少なくとも一つはx-1を因数にもたない」理由を教えてください

次の (1)(2)(3) を同時にみたす, 3つの互いに異なるこの3次式の組をすべて求めよ。
(1) x3 の係数はいずれも 1
(2) それらの最大公約数は+3
(3) それらの最小公倍数は (x-1)2(x - 6)(x+6)(x + 3)

【解答】
(2)より、3つの整式は(π+3)f(x), (x+3)g(x), (x+3)h(z) と
表せる。また(3)より, f(x), g(x), h(x) は (x-1)2(z-6)(x+6)
の2次の因数で, 互いに素である。
すると, f(x), g(x), h (x) のうち少なくとも一つはæ-1を因数
にもたないので,それをf(x) とすると
ƒ(x) = (x − 6)(x+6)
よって、他の2つは (x-1)2, (x-1)(x-6), (x-1)(x+6) の
いずれかで,どちらかは (x-1)2を因数にもたねばならないこと
に注意して, 求める3つの整式は
(x+3)(x-6) (x+6) ≥ (x+3)(x − 1)²
≥ (x+3)(x − 1)(x − 6)
または
(x+3)(æ-6)(+6) と (+3)(æ-1)2
≥ (x+3)(x - 1)(x+6)