Question

jpgamw

(3)の解答の()をつけた所の式転換が分かりません🙇
よろしくお願いします。
返信明日の昼頃になってしまいます。
すみません。

A
92./nが自然数のとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
口 (1)* 1+2+4+ ...... +2-1=2"-1
☐(2)
□(3)*
n
1
n(n+1) n+1
1・2+2・22+3.2°+….....+n・2"=(n-1)・2"+1+2
1
1 - 2 + 2 =
2･3
+......+
=
教p.38 例題 17

(3) (I)n=1のとき,
(①の左辺)=1・2=2, ( ① の右辺)=(1-1)・2'+1+2=2
よって, ①は成り立つ。
(ⅡI)n=kのときの ①, すなわち,
1・2+2・22+3・2+......+k.2k=(k-1)・2k+1 +2
が成り立つと仮定する。
n=k+1 のとき,②より,
(①の左辺) =1・2+2・22+3・2+ +k2k +(k+1)・2k+1 3 n =kのとき成り立つと仮定
した等式
1·2+2·2²+ + k.2k
={(k-1)・2k+1+2}+(k+1) 2k+1
=2k.2k+1+2=k.2k+2+2
={(k+1)-1}2<k+1)+1+2=
よって,n=k+1 のときも ① は成り立つ。
(I), (II)より, ① はすべての自然数nについて成り立つ。
( ① の右辺)
=(k-1)・2k+1+2
を利用している。

Answer 1

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志摩🌈

目指す形というところがポイントです🌈

jpgamw

回答ありがとうございます。
先に目指す式を考えると分かりやすいですね！
助かりました🙇
ありがとうございました。