Question

あや

演習β 第8回 2
(3)解説がどういうことなのか分からないので教えてください。

2 [2012 岩手大]
関数 f(x) = 2sin2x+4sinx + 3cos2x について,次の問いに答えよ。ただし,
0≦x<2πである。
(1) t = sinx とするとき, f(x) を tの式で表せ。
(2) f(x)の最大値と最小値を求めよ。 また,そのときのxの値をすべて求めよ。
(3)方程式f(x)=αの相異なる解が4個であるような実数aの値の範囲を求めよ。
解答
(1) f(x)=2sin2x+4sinx +3(1-2sin'x) = -4sinx +4sinx +3= -4t2+4t+3
(2) 0≦x<2πであるから −1≤t≤1
g (t) = -4t2+4t+3 とおくと
よって, g(f) すなわち f(x) は,11/12 すなわち
t=
sin x
=1/2のとき最大値4をとり, t=-1 すなわち
2
g(t) = − 4(t-1)² + 4
2
sinx=-1のとき最小値-5をとる。
sin x =
=1/2のとき
π 5
π
9
6 67
sinx=1のとき
x=
3
27
a
y=g(t)
0 11
2
-5
4
(3) sinx=t... ① を満たす x (0≦x<2π) の個数は次のようになる。
-1<t<1のとき 2個
t=-1, 1 のとき 1個
t<-1, 1<t のとき ① を満たす x は存在しない
よって, f(x) =αが相異なる4個の解をもつ条件は, g(t)=aが-1<<1の範囲で
異なる2個の解をもつことである。
y=g(t) のグラフから, 求めるαの値の範囲は 3<a<4

三角関数

Answer 1

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函館駅前

この手の問題はy=g(t)とy=aの共有点の個数を考えればよい。しかし、いま聞かれいるのはxの個数であり、xの個数とtの個数は1対1で対応しない。
つまり、xの個数とtの個数の対応をしっかり調べる必要がある。
今回はt=sinxであるから単位円で考えるとtとxの個数の対応がわかる。
あとはaの範囲に基づいて対応をみる

入試や模試でも頻出かつ他分野でも良くある問題なので是非習得したいものです。
参考書とかにも載ってると思うので是非確認をしてください。また、共有点云々がわからないなら数学1の二次関数の分野に戻って確認をしてください。

類題も用意したので是非活用をしてみてください
何かあればまた聞いてください。

あや

ありがとうございます！！