Mathematics
มัธยมปลาย
有理数であると仮定する時、なぜ約分できない分数にしないといけないのでしょうか。
応用
例題
1
2は無理数であることを証明せよ。
解説 √2は無理数でない, すなわち有理数であると仮定して矛盾を
導く。 また, 65 ページの例題1で証明した次のことを用いる。
nを整数とするとき, n² が偶数ならば, nは偶数である。
証明 2 は無理数でない,すなわち有理数であると仮定すると,
1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a,bを用いて
√√2 = ²/
a
1
b
と表される。 このとき
a = √2b
両辺を2乗すると
a²=262
①
よって, d² は偶数,したがって, a も偶数である。
ゆえに, αは、 ある自然数c を用いて
a=2c
1
②
と表される。 ② を①に代入すると
4c²=262
すなわち
b2=2c2
よって, 62 は偶数, したがって, も偶数である。
aとbはともに偶数であり, 公約数2をもつ。
このことは,aとbが1以外に正の公約数をもたないことに
矛盾する。 したがって√2は無理数である。
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