Question

nagi

(2)を詳しく説明お願いします。

1267 TES(2)... x² - y² = k₁ x² + y² = k _ ★★x²
例題
思考のプロセス
次の方程式を満たす自然数の組(x, y) をすべて求めよ。
(2) x2 + y^2 = 34
(1)
x² - y² = 99
Action 不定方程式は, ()()=(整数)に変形せよ 例題266
comma
)() = (整数)に変形できない。
(22) (1) のように(
候補を絞り込む
10X
x≧1 または y ≧1 から,どちらか一方の文字の範囲を考える。
XERR
Action>> 不定方程式は,文字の範囲から解の候補を絞り込め
(1) 99 を素因数分解すると
10 99 = 3².11
x-y2 = 99 より
(x-y)(x+y) = 3･11 ... 1
ここで, x, y は自然数であるから, x2-y^>0 より x>y
よって, x+y, x-yも自然数である。
さらに, x-y<x+y であるから, ① を満たす自然数>0より
の組(x-y, x+y) は
x-y<x+y
(1,99),(3,33), (9,11)
(ア)x-y=1,x+y=99 のとき
辺々を加えて 2x= 100
これより
x = 50, y = 49
(イ) x-y=3,x+y=33 のとき
(2) x2 + y = 34 より
は自然数であるから
同様に解くと
x = 18, y = 15
(ウ) x-y=9,x+y=11 のとき
同様に解くと
x=10, y = 1
(ア)~ (ウ)より、求める自然数の組(x, y) は
(50, 49), (18, 15), (10, 1)
134037 01 25.01 03:
y²=34x²33
y = 1, 2, 3,4,5
8) (0.001) = (s) €30
(ア)y=1のとき
x=33 となり、不適。
(イ) y=2のとき x=30 となり、不適。
(ウ)y=3のとき
x2 = 25 となり
(エ)y=4のとき x2 = 18 となり、
x=3
(オ)y=5のときx2 = 9 となり
(ア)~ (オ)より、求める自然数の組(x,y) は
(5 3), (3, 5)
3) 99
3) 33
0|11
x =
5
<<noidA
不適。
x-y, x+yはともに
9932.11 の正の約数
ある。
は自然数よりx≧1
このことから, y の値の
範囲を絞り込む｡
xは自然数である。

(2)
x2+y2 = 34 より
は自然数であるから
v2=34-x2 3308) (
3,4,5)
y = 1, 2, 3,4,5
(ア) y=1のとき x2=33 となり、 不適。
(イ) y=2のとき x=30 となり、不適。
(ウ) y =3のとき x = 25 となり
x=5
(エ) y=4のとき x = 18 となり, 不適。
(オ)y=5のとき x = 9 となり
(ア)
(オ) より 求める自然数の組(x,y)はx) (
~
x=3
xは自然数よりx≧1
このことから,yの値の
範囲を絞り込む。
自然数である。
³) S) = (sx) $300
a) (01.8) (00-01)

Answer 1

なな

y²=34となる自然数yはないから
x²=>1

34-x²が最大になるにはx²が最も小さくなければならない。
y²=34-x²=<34-1=33

nagi

x*2=0の時y*2=34となり、自然数となるyはない

x、yともに整数だからy*2=>1

ということで合ってますか？

34-x*2が最大になり、x*2が最小になるのはどうしてですか？

なな

すみません、xとyが自然数であることを見逃していました。

x、yが自然数だから
x²=>1、y²=>1 です。

y²=34-x²=<34-1=33 ではy²の最大値を求めることで
y²の範囲を決定するために34-x²の最大値を求めています。

また、34-x² は　x² が小さいほど数が引かれないため、
x²の最小値が34-x²の最大値となります。

x²の最小値はx²=>1よりx²=1

nagi

なるほど！詳しくありがとうございました🙇🏻‍♀️⸒⸒