Question

いのり

数IIの割り算の等式についてです。
この赤線のところ、なぜ①と②に別の値を代入しているんですか？なぜ①と②と③に代入したんですか？

問題312
多項式P(x) を x2+x−2で割ると余りが -3x+8であり, x-x-6で割ると余りが
-5x+4 である。 P(x) を x²-4x+3で割ったときの余りを求めよ。
P(x) を x2+x-2, xx-6 すなわち (x+2x-1), (x+2)(x-3)で割ったときの商を,
それぞれ Q] (x), Q2(x) とすると, 条件から
P(x)=(x+2)(x-1)Q」(x)-3x+8
P(x)=(x+2)(x-3)Q2(x) -5x+4
P(x) を x²-4x+3 すなわち (x-1)(x-3) で割ったときの商を Q(x), 余りをax+b と
すると
P(x)=(x-1)(x-3)Q(x) +ax+b
①から
P (1) = -3.1+8=5
② から
P(3) = -5.3+4=-11
P(1)=a+b,P(3)=3a+b
③から
よって
ゆえに, 求める余りは
a+b=5,3a+b=-11
-8x+13
******
これを解いて a=-8, b=13

Answer 1

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Rousseau

①の式に、x=1を代入すると、

右辺の(x-1)が0となります。

そうすると、右辺で残るのは-3x+8なので、x=1より

P(1)=5となります。

同様に、P(3)=-11となります。

また、③の式におけるaとbの値を知りたい時、

③の式は、x=1とx=3を代入するとaとbのみの式になります。

よって、それぞれの式の値はP(1)とP(3)に一致するので連立方程式を解くのみです。

この手の解法は、全ては連立方程式に持ち込むための
ものです。