Question

さわやん

この問題の解答中に(x+1)の２条を因数にもち定数項がbだからf(x)は(x+1)の２条×(x+b)となる理由がわかりません。どのような原理でつくったのですか？

287 α, bを実数の定数とし, f(x)=x3+ax²+13x+b とする。
(1) x 3次方程式 f(x)=0が-1を2重解としてもつときのa,bの値を求
めよ。
(2)の3次方程式f(x)=0 の1つの解が1+2iであるときのαの値を求
[16 福岡大
287
テーマ･
3次方程式の1つの解から係数決定
Key Point 109]
(1) 3次方程式f(x)=0が2重解-1 をもつとき,
f(x) は(x+1)2 を因数にもつ。
また、 定数項がであるから, f(x) は
f(x)=(x+1)(x+b) と表される。
右辺を展開すると
f(x)=x3+(2+b)x2+ (1 +26)x+b
f(x)=x3+ax2 + 13x + b の係数と比較すると
a=2+b, 13=1+2b
これを解くと
a=8, b=6
このとき、残りの解はx=-6であるから適する。
別解 f(x)=0が-1を2重解としてもつとき,
残りの解をαとすると, 解と係数の関係から
(-1)+(-1)+α=-a
(-1)・(-1)+(−1)a+α・(-1)=13
(−1)(-1)・α=-b
これを解いて
このとき, αキー1より, 適する。
α=-6,a=8, b=6
(15 立教大)
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