Question

ぽこたん

赤のマーカーが引いてあるところがそうなる理由を教えてください。

重要 例題 82
折れ線の長さの最小
2,5),B(9,0)とするとき, 直線 x+y=5上に点Pをとり, AP+PB を
最小にする点Pの座標を求めよ。
[日本獣畜大]
基本 78
CHART & SOLUTION
折れ線の問題には線対称移動
直線l:x+y=5 に関して2点A,Bが同じ側にあるから考
えにくい｡
そこで、直線lに関してAと対称な点A'をとると
AP+PB=A'P+PB≧A'B
等号が成り立つのは, 3点A', P, Bが一直線上にあるとき
である。
ゆえに,直線ℓと直線A'B の交点が求める点Pである。
2点A,Bは直線lに関して同じ側にある。
直線l:x+y=5
① に
YA
関してAと対称な点を
A' (a, b) とする。
AA'il から
b=(-1)=-1
よって
a-b=-3
②
線分 AA' の中点が直線l上にあ
2+a 5+b
るから
+
2
=5
5
......
A
3
0
A
-2
MOITUJO 23 TRAND
5
Po 0, -25
B
9
l
TĀS
ゆえに A'(0, 3)
よって
a+b=3
② ③ を解いて a=0, b=3
このとき
AP+PB=A'P+PB≧A'B
● よって, 3点A', P, B が一直線上にあるとき, AP+PB は
最小になる *
x
9
直線A'B の方程式は
y
+1/3=
-=1 すなわち x+3y=9 ④
直線ABと直線l の交点を Po とすると,その座標は
① ④ を解いて x=3, y=2
ゆえに
Po(3, 2)
したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は
(3, 2)
A'
750
P
B
l
◆直線lに関して点Pと
点Qが対称⇔
[1] PQ+l
[2] 線分PQの中点が
直線l上にある
←直線 AA' はx軸に垂直
ではないから α =2
垂直傾きの積が -1
←線分 AA'の垂直二等分
線上の点は, 2点A,A'
から等距離にある。
よって AP=A'P
*2点A',B間の最短経
路は, 2点を結ぶ線分
A'B である。

Answer 1

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aporon

AとA'が対称点なので、AP=A'Pが成り立ちますね
つまり、AP+PB=A'P+PBが成り立ちます

あとは、Pを移動したときに、最短になるのはA',P,Bが一直線に並んだ時ですね