Question

よあこひ

（2）の問題ですが、⑴で出た答え以外。として、答えを出すのは不十分なのでしょうか。

.28 第2章 高次方程式
Think
例題64
3次方程式と実数解
αを実数の定数とする. 3次方程式x+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0
について 次の問いに答えよ.
(1) 重解をもつように,定数aの値を定め、そのときの重解を求めよ、
(2) 異なる3つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ
[考え方 まずは、次数の最も低いα について整理し、3
*) 0
xの1次式)×(xの2次式)
P(x) はーー
252310
の形に因数分解する.
(1) 2次方程式の解が, 1次方程式の解を含む」場合と,2次方程式が重解をい
(2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式
場合の2通りが考えられる.
x)/(E
を含まない場合である.
Pk8-
解答
(1) f(x)=x2+(a-1)x+(a−3)x-2a+3 と
する.
J+x81-
a について整理すると,z+
f(x)=x2+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3
=(x²+x-2)a+x³-x²-3x +3
=(x-1){(x+2)a+x°-3}
=(x-1)(x2+ax+2a-3)
-3(x-1)
より, f(x) は x-1 を因数に
1枚分解平は
もつ.
ご教の低い文字で//=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)^-1d0+(a-3)・1-2a+3
これを利用して因数分解して
よい.
「組立除法
(+508 +S)
11 a-1a-3-2a+3
a
20-3
f(x)=0 とすると,
x-1=0 または x2+ax+2a-3=0
したがって, f(x)=0が重解をもつのは,
次の2通りの場合である。
(i)x+ax+2a-3=0 が x=1 を解
にもつ
(i)x+ax+2a-3=0が重解をもつ
(i)のとき,x=1 が解であるから
1'+α・1+2a-3=0 より, a=-
2014 D=a²-4(2a-3)) p
=a²-8a+12
=(a-2)(a-6)
したがって
£), a=2, 6
重解はx=--
32
(Ⅱ) のとき、x2+ax+2a-3=0 の判別式を
Dとすると、重解をもつので、D=0である。
77
(-2)(46)=0
a
2
より,
次数の低い文字で整理して
a
a=2のとき
a=6のとき,
数分解する.
f(1)=13+(a-1)・12
x=-1
x=-3
²SC
1
IS-₂0 1=5
1&V+S=x1
1
a
-dp4
x=1 が重解
残りの解は、
2
84-206
(x-1)x+
5000+
- 0 を解いて
3
20-1
+8
√(x + 3) =
18-9085
よ
より、メー
り
(S=4510082
0=0
10
(+S)
3010
max²+bx+c=0 ( a = 0)
4th
b
をもつとき、x=-
2a
のの重解を求める。
a=2,a=6のそれぞ

Focus
よって, (i), (i) より,
練習
64
****
165⁰
a=1/23 のとき, 重解x=1
a=2 のとき, 重解 x=-1
a=6のとき, 重解 x=-3
(2) (1)より、f(x)=(x-1)(x+ax+2a-3)
f(x)=0 とすると,
E
|x-1=0 または, x+ax+2a-3=0
であるから, f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ
のは,次の(i),(ii) を同時に満たす場合である.
(i) x2+ax+2a-3=0 が異なる2つの実数解
をもつ
(ii) x2+ax+2a-3=0 の解がxキ1
(i) x2+ax+2a-3=0 の判別式をDとすると,
異なる2つの実数解をもつので D>0 である.
(1)より, (a−2)(a-6) >0
したがって, a<2,6<g
(ii) x²+ax+2a-3=0 が x=1 を解にもたない
1/30
2
(1)より
よって, (i), (ii) より 求めるαの値の範囲は,
15/03/1/3<a<2,6<a
a
(8
IS
Tax + a +8x)+²x(*
(1)以外じゃダメ?
3次方程式 P(x)=0が重解をもつ
P(x)=a(x-a)(x-β) (aβ)
または P(x)=a(x-α) (3重解)
注>> 3次方程式の異なる3つの実数解の問題は、次の場合がある.
f(x) が因数分解できる場合
> 例題 64
f(x) の文字が定数項のみの場合 例題 210
f'(x) が因数分解できる場合
> 例題 211
第6章 「微分法」 p.400, 401 参照)
3 高次方程式 129
(i), (ii) が同時に成り
立つのがポイント
第2章
x=1 を解にもつとき,
(1) より, a=
1²/3
x=1 を代入しても成
立たないことから,
1' + α・1+2a-3=0
より、a=20237 として
もよい.
次の問いに答えよ.
(1) 3次方程式x-x2+(a-6)x-3a = 0 がただ2つの解をもつように,実数
の定数αの値を定めよ.ただし、重解は1つの解とする.
(2) 3次方程式 -3 (a+2)x+6 (a²+a)x-4a²=0が異なる3つの実数解を
もつように、実数の定数aの値の範囲を定めよ.

Answer 1

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poppo

不十分ですね。
(1)は重解、(2)は異なる3つの実数解を持つ条件ですが、他にも解なしの時などが存在するため、この２つで全てのaの範囲を網羅することはできていません。

よあこひ

なるほど！
解なしの時が存在するから、aの範囲を網羅できない為、不十分ということですね。
分かりやすい回答ありがとうございました！