Question

ℎ

青チャートIIの円と直線の質問です。重解は1点で接する場合に使うんじゃないんですか？何故D＝0としたら円が2点で接する場合が出てくるんですか？

と円の共有点 接点
放物線y=x2+αと円x2+y²=9について,次のものを求めよ。
(1) この放物線と円が接するとき,定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲
!
指針▷放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針
!
共有点
実数解
接点⇔重解
で考えればよい。
この問題では,x を消去して,yの2次方程式 (y-a)+y2=9の実数
解,重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも注意。
(1) 放物線と円が接するとは、円と放物線が共通の接線をもつこと
である。この問題では、 右の図のように, 2点で接する場合と1点
で接する場合がある。
2点で接する
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たすaの値の範囲を見極める。
解答
(1) y=x2+αから x2=y-a
これを x2+y2=9 に代入して
よって
y2+y-a-9=0
ここで, x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点で接
する場合
2次方程式 ① は ② の範囲
にある重解をもつ。
よって, ① の判別式をD
とすると
D=0
D=12-4・1・(−a−9)
(y-a)+y²=9
x2=9-y2≧0
[1] a=-
y
3
-3
O
-3768
13
=4a+37
であるから 4a+37= 0 すなわち
1
2
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点(0, 3),(0, 3) で接する場合で
37
以上から,求めるαの値は a=-
±3
4'
37
4
ゆえに
[2]
37
4
このとき, ① の解はy=- となり,②を満たす。
a=-
a=-3
y4
a=±3
00000
-3≦y≦3
x を消去するとyの2次
方程式が導かれる。
基本95
1点で
接する
y=-
(2)
3-
a=3
O
2次方程式
by2+gy+r=0 の重解は
g
2p
頂点のy座標に注目。

Answer 1

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かきつばた

いい質問ですね。
1点で接する時は二次関数と一次関数の場合じゃないかな？
yが②の範囲で重解の時ね。その中で今x≧0の時で考えると、放物線が円の接戦になるんよね？(接してるってあるからね)
そしたらさ問題の放物線と円ってy軸対称やろ？
だから絶対反対側の対称の点でも接してなきゃおかしくない？だからyが②の範囲で重解持ったら2点で接するんよ

ℎ

わざわざ丁寧にありがとうございました💖