Question

けい

(2)で、『Pn +1/Pnと1の大小を比較する』やり方というのはパターンとして理解できるのですが、どういったやり方で答えを出すのか解説を見てもよく理解できません。よければご教示ください。

白玉5個,赤玉n個の入っている袋がある.この袋の中から,
2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個,赤玉1個である確率
を pm で表すことにする.このとき、次の問いに答えよ.ただし,
n≧1 とする.
(1) pn を求めよ.
(2) n を最大にするnを求めよ.

(1) Dn=
CEP
(2)
5C1*nC1
2.5•n
n+5℃2 (n+5)(n+4)
Pn+1 =
pn
=
=
=
Pn+1
PA) Pn
10 (n+1)
(n+6)(n+5)
(n+1)(n+4)
10n
(n+5)(n+4)
-1=
解答
×
4-n
-=1+
n(n+6) ¹ n(n+6)
4-n
n(n+6)
よって, n<4 のとき,
140
n=4のとき,
n≧5のとき,
(n+5)(n+4)
10n
+1>1
Pn
p5=pa
Pn+1 <1
Pn
:: P₁< P₂<p3<P4=P5> P6> Þ7>......
よって, n を最大にする n は, 4,5
FAER BS
n!
AnCr=r!(n-r)!
pn+1の形で1と大
pn
を比較
<n(n+6)>0 だから
符号を調べるには分
子を調べればよい
【この式をかく方がわ
かりやすい

数学a 確率 確率の最大値

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

きらうる

＞どういったやり方で答えを出すのか
解説がどこまでわかってどこからわからないか、教えてもらえますか。

けい

回答ありがとうございます。
「よって」のあとからが理解できません。
よくわからない場合分けをしたのちにいきなり不等号と等号の羅列が出て、混乱してます笑

きらうる

今回の問題は白玉1個赤玉1個になる確率P(n)の最大値を求めています。
調べていくと、
P(1)＜P(2)＜P(3)＜…＜P(n-1)＜P(n)＞P(n+1)>P(n+2)…
となるような最大の確率P(n)がどこかで存在します。

このとき、
P(n-1)＜P(n)　なら、P(n-1)/P(n)＜1
P(n)＜P(n+1)　なら、P(n+1)/P(n)＞1　となるP(n)が最大になります。

今、P(n+1)/P(n)＝1+(4-n)/n(n++6)
となっているので、この式が1より大きくなるときのnを探します。

∴の式は1を移項して0より大きいものを見つけるようにしているので、右側の◀に書かれているように、4-nの正負だけを考えればいいことになります。
つまり、n＝4のとき、P(5)/P(4)＝1となり、
P(5)＝P(4)　がいえるので、あとは、n＝3のとき、n＝5のときがどうなるかを代入してみると、P(4)/P(3)＞1、P(6)/P(5)＜1、であることがわかるので、P(4)とP(5)が最大値というわけです。

文字だと伝わりづらいかもしれませんが、いかがでしょうか。

けい

返信遅れてすみません。丁寧にありがとうございます。
この問題では、n＝4のときにP(5)＝P(4)で最大値となり、n <4のときとn ≧5のときは確率が下がっていくというわけですが、
このような問題のパターンとしては、Pn +1＝Pnが同値になるときに最大値となり、nよりも小さい[大きい]の値の確率はnが減る[増える]につれて下がっていくという理解でいいですか？
うまく言語化ができなくてすみません。

きらうる

問題によっては、必ずしもP(n+1)＝P(n)になるわけではないですが、そのような認識でいいと思います。

けい

やっと理解できました。丁寧に教えていただきありがとうございました！