Question

らむ

赤く囲ったところについて質問です。
2次以上の関数同士がx＝αで共有点をもつとき、接戦の傾きは同じになるのでf´(α)＝g´(α)が成り立つのは分かるのですが、今回3次関数と一次関数なのにこの公式(?)を当てはめることが出来るのは何故ですか？
一次関数にも接線の傾きなどという概念はあるのですか？

不等式への応用
任意の正の数x,yに対して, (x+y)≧ary が成り立つようなaの値の
範囲を求めよ.
(* 佐賀大)
110
変数x,yと2つあるので扱いに
くい式となっています。 そこで,
精講
と考えてみます。この不等式の両辺は x,yの同
変数を1つにできないか?
次式(ともに3次式) になっているので,両辺を
(>0) で割ってみます. 与式は
(1+ 2)² ≥ a
za.y
IC
となり, t = とおけば, 1変数tについての不
等式として整理されます。
(>0) で両辺を割ると
となり, s = - のおきかえにより, 1変数sの不
y
CONTE
等式となりますが,右辺の次数が上のものより高
くなるので,このおきかえは得策ではありません.
上のおきかえをとることにしましょう.
任意の正の数tに対して,(1+t)'≧at が成り
立つようなαの範囲を求めるには,αを原点を通
る直線の傾きとみて、t>0 において
y=at がy=(1+t) の下側
にある条件を求めればよいでしょう. また,
SÄHM BOR 249
解法のプロセス
xC
解答
2変数の同次な不等式
↓ おきかえ
f(t)=(1+t)^-at
とし、t>0 において, f(t) ≧0 となる条件を求め
てもよいでしょう. これは 別解 でふれることに
しましょう.
1 変数の不等式
↓
y=(左辺),y=(右辺)
のグラフの上下関係に着目する
◆x,yがx>0,y>0 の範囲
を独自に動くときのとり
得る値の範囲はt> 0 となる
SOHODACIC-37 (3 (1-²1) DIC 031 032 So
両辺をx(0) 割り,
y=t(>0) とおき,任意の正の数tに対して

250 第6章 微分法とその応用
(1+t)³≥at
が成り立つようなαの値の範囲を求める.
y=(1+t) と y=at が t=α (>0) で接する条
件は
[(1+α)=aa
3(1+a)²=a
であり、これを解くと
(1+a)³=3(1+a) ²a
.. (1+a)²(1-2a)=0
a>0 £ α == 1/²/²
より
a=
2
27
このとき a=3(1+1/12 ) 2= 4
よって, 右図より求めるαの値
の範囲は
.27
40
t.
izat
(1+t)
YA
y=(1+t)3_1
27,
y=4
▪ y=f(t), y=g(t) ³t=a
で接する
x=a
接線の傾きが一致する
で共有点をもち、
F10 2083
No.
共有点: f(x)=g(a)
[傾き:f'(a)=g'(a)]
標問

Answer 1

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き

なんとなくわかっておられるのと思うのですが、1次関数に対して接線を考えないのは1次関数と全く同じに式になることが明らかだからです。

今回疑問に持たれている部分の
「y=(1+t)^3とy=atがt=αで接する」
というのは、言い換えれば
「y=(1+t)^3のt=αでの接線の方程式がy=at」
と言っていることは全く同じです。

ですのでy=(1+t)^3のt=αでの接線の方程式を立式してみると
y=3(1+α)^2•t-3(1+α)^2•α+ (1+α)^3
でこれがy=atと一致するので
傾き一致：3(1+α)^2=a ー①
y切片一致：-3(1+α)^2•α+ (1+α)^3=0 ー②
②に①を代入すると-3aα + (1+α)^3=0
つまり
(1+α)^3=3aα ー②’
となり①と②’が参考書に書かれている式と一致します。

そもそもこの2曲線の接する条件が
共有点が一致する・接線の傾きが一致する
の2条件と同値なのは、2曲線の接線の方程式を比較して証明しているという背景があります。
1次関数に対して接線の方程式を考えるのは無理矢理感万歳ですが、1次関数そのものを接線の方程式として比較すれば成り立っていることから、問題なく適用できるというわけです。

長文になってしまいましたが、伝わったでしょうか？
質問あれば気軽にしてくださいね。

らむ

回答して頂きありがとうございます。
仰っていることはとてもよくわかりました。ありがとうございます！