Question

ねこ

数と式の問題です
（3）について、どうして（x−1）^2で割り切れる条件は
f(1)＝0かつf'(1)＝0なんですか？教えて下さい🙇

1･11n は 2 以上の整数とする.また, a, b は実
数とする. 以下の問いに答えよ.
(1) x-ax-box-1で割り切れるとき, bを
a を用いて表せ.
(2)
a,bをnを用いて表せ.
-ar-bがx+x-2で割り切れるとき,
(3) x-ax-b が x2-2x+1 で割り切れるとき,
a b を n を用いて表せ.
( 17 奈良女大・生活)

1.11 多項式の割り算/因数定理, 微分法の利用
多項式P(x) と定数 α について
P(x) x-aで割り切れる
= 0
P(α)
(因数定理) が成り立つ.2乗で割り切れる条件は、
P(x) が (x-a)で割り切れる⇔P(a)=P'(a)=0
解 f(x)=x-ax-b とおく.
(1) 因数定理より、条件はf (1) = 0. よって
1-a-b=0
∴.b=1-a
(2) x2+x-2=(x-1)(x+2) だから,条件は
f(1) =0かつf(-2)=0
... 1-a-b=0かつ(-2)* +2a-b= 0
答えは,a=1/{1-(-2)"}, b=1/12 (2+(-2)"}
3
(3) f'(x)=nxn-1-a である.
f(x)がx-2x+1=(x-1)2で割り切れる条件は
f(1) =0かつf'(1)=0
∴. i-a-6=0 かつn-a=0
答えは, a=n, b=1-n

数と式 余り

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Seifert-van Kampen

一般論で話します
多項式 f(x) が (x-a)² で割り切れる⇔f(a)=f'(a)=0　が成り立ちます

⇒の証明
f(x)=(x-a)²g(x) (g(x): 多項式) とかけるので
両辺を x で微分して
f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)²g'(x)=f'(x)=(x-a)(2g(x)+(x-a)g'(x))
x=a を代入して f(a)=f'(a)=0 がいえます

⇐の証明
f(x)=(x-a)²g(x)+ax+b (g(x): 多項式) とかけます
両辺を x で微分して
f'(x)=(x-a)(2g(x)+(x-a)g'(x))+a
f(a)=f'(a)=0 から a=b=0 を得るので
f(x)=(x-a)²g(x) となり f(x) が (x-a)² で割り切れることになります　（証明終）

ねこ

分かりました！ありがとうございます🙇