Question

わたえあ

この問題のように方程式の整数解を全て求めよという問題でなぜ①−②をするのかわかりません。教えてください（1枚目問題文2枚目解説）

*(1) 5x+7y=1

285 (1)
5x+7y=1
40..... ①
x=3、y=-2は,① の整数解の1つである。
よって
5.3+7・(-2)=1
2
①-② から 5(x-3)+7(y+2)=0
3
5と7は互いに素であるから、③ のすべての整
数解は
81= 8A
x-3=7k, y+2=-5k(kは整数)
したがって, ① のすべての整数解は
x=7k+3,y=-5k-2 (kは整数) 81 =

1次不定方程式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

なむる

基本的に、aとbが互いに素な自然数であるとき、
ax+by=0
の形の方程式の整数解を求めるのは容易です。

例えば、a=5,b=7としましょう。
5x+7y=0
5x=-7y
5と7は互いに素なので、xは7を約数に持つ。
よって、kを整数として、x=7k。
よって、y=-5k。
以上より、(x,y)=(7k,-5k)(kは整数)

このような感じ。
この解答を見ればわかるように、
ax+by=0
という形は、aとbが互いに素であることをそのまま活かすことが出来るわけです。
では今回の問題、
5x+7y=1・・・①
はどうでしょうか。先程と同じように変形すると、
5x=1-7y
これでは5と7が互いに素であることが活きません。
ここで我々はこう考えるのです。
「右辺の1が鬱陶しい。何とかして①の右辺を0に出来ないかなぁ」

そこで、①の解を一つ(ここでは(x,y)=(3,-2))見つけることで、
5•3+7•(-2)=1・・・②
という等式を発見します。
①と②を眺めると、このような発見があるでしょう。
「①-②をすると右辺が0になる！」
では実際に行うと、
5(x-3)+7(y+2)=0・・・③
見事右辺が0になりました。
xとyがなんかややこしくなりましたが、3で引こうが2を足そうが整数であることには変わりないので大した問題ではありません。わかりにくければ、
X=x-3,Y=y+2とおけば、③は、
5X+7Y=0
となります。これは我々が探し求めていた形ですね。あとはやることは同じです。XとYを使った場合はちゃんとxとyに最後戻すことをお忘れなく。