Question

Hi（受験生）

１番のイです。
「すべての項の係数の和 → ｘ＝１を代入したときの値」
これはどういうことでしょうか？解説お願いします。

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35. <二項展開式 多項展開式とその係数〉
(1) (2x-1)を展開したとき、xの項の係数はであり,すべての項の係数の和
はである。
(2) ( 1+x+xy+xy2) 10 の展開式における x y 13 の項の係数を求めよ。
[13 近畿大理系]
[17 新潟大]

指針 35 〈二項展開式・多項展開式とその係数〉
(1) 二項定理から, (2x-1) の展開式の一般項はC,(x) (1/4)
すべての項の係数の和x=1 を代入したときの値
(2) 多項定理 から (1+x+xy+xy2) 10 の展開式の一般項は
10!
p!g!r!s !
-.1².x. (xy)". (xy²)s (p+g+r+s=10, p≥ 0, q≥0, r≥0, s≥0)
(1) (ア) 展開式の一般項は
BC, (2x) - (-1)=sC, 26-1(-1)'x5-2r
5-2r=3 とすると r = 1
よって, x3 の項の係数は
(イ) 展開式の一般項にx=1 を代入すると
sy ・25- (-1)' となり,これはx=2の項の係数である。
よって、求める和は、与えられた式にx=1 を代入したときの値
32 数学重要問題集(理系)
5C1・2・(-1)'=80
←(-1)=(-1)(4)
=(-1)'x'
(ア) を利用する。

に等しいから (2·1−1)=11

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

dio

二項定理ではよく使う必殺技です。
例えば、f(x)=3x^2+5x^(-1)とあったとき、f(x)^5の係数の総和を求める際、
いちいち展開して求めてもいいのですが、別解として下記のような求め方があります。

■別解
f(x)^5=3^5*x^10+.....+5^5*x(-1)^5
これを、Ax^m+Bx^n+Cx^p+....Zx^qとして見て、
よく考えると、求めたいのは係数の総和ですから、
結果的にA+B+C+...+Zを求めたいので、x=1としてしまえば都合がよくなります。
また、この多項式はf(x)と関連性があるので、f(1)として計算してしまえば、見事に係数の総和だけを求めることができます。

これは、頻繁に出てくる、2^nを多項式に直した例と同じ考えです。
(1+1)=2に対して、両辺をn条すると、(1+1)^n=2^nとなりますから、
左辺は面倒な多項式で、右辺はスマートな形になっている、という使い方でよく出題されます。

ちょっと、意味が理解しかねるようでしたら申し訳ありません。