otherは「他の」という形容詞です。名詞ではありません。だからほかの3つとは根本的に違います。
anotherは「もう一つの」という形容詞なのですが、名詞「もう一つのモノ」としても使います。
ここでは名詞としての使いかたを説明します。
othersとthe othersは名詞として使っています。
もう一つ、the other という言い方があります。これは名詞として使います。これも合わせて説明します。
ポイント① theがつくとき
theがつく時は「残り全部」という意味になる。
the otherとthe othersはどちらも名詞として使います。違いは単数か複数かです。
● ◯
黒丸を一つ取る（=one）と、
残ったものは白丸1つだけで、かつ、これは「残り全部」なのでthe other と表現します。
つまりthe otherは「残りの1つ」ということです。
残ったものが1つしかない時に使うんです。
● ◯ ◯ ◯
黒丸を一つ取る（=one）
残ったモノ全部と言いたいときはthe othersです。
the othersは「残りの複数全部」です。
ここでは白丸3つがthe othersになります。
ポイント②
anotherは元々 an otherから来ていますから、これは名詞で使うときは単数です。
others はそれに対して other にsがついていますから、複数を表す名詞として使います
● ◯ ◯ ◯ △ △ △
最初の一つを取る（=one）
残り複数個あるうちの、全部ではなく一つだけ取る場合
anotherを使います。左から順番に取ってくとしたら左から2番目の○ですかね。
さらにもう一つ取りたければもう一度anotherです。
残り複数個あるうちの、全部ではないけど、一つでもなくて複数個取りたい場合はothers を使います。
左から順に取るなら、2番目と3番目とか、2〜4の3つとか、◯3つと△1つの4つとか。othersは複数というのが分かるだけで「〜個」とは言っていません。
ついでに応用です。
いままで、最初に取るのは1つだけ（=one）でしたが、
最初に複数個取りたい場合は some という単語を使います。
someは形容詞にも名詞にもなります。「いくつかの」という意味で、複数でありそうなんだけど、具体的に何個とは言わない表現です。
例えば
● ● ◯ ◯ ◯ △ △ △
左から順番に取っていくとして
some ・others ・another ・the other
という単語がこの順番に出てきたら。
the otherは右端の△で、
anotherは右から2番目の△であることはわかります。
someとothersはそれぞれ複数ということだけしかわからないので
残った●◯△合計6個のうち3個ずつなのか、2個と4個なのか（だとしたらどちらが2でどちらが4か）、というのはわからないです。
the otherの説明で「もとから一つしかないもの」って書いてるけど、選んだ後に1個しか残っていなかった時に使う！っていった方がわかりやすいかも