Question

こば

赤い丸が付いているところの質問です！
x=1はf（x）=-x²+x+1とf（x）=x
のどちらでも付けていいでしょうか？？

254
例題 137 関数の連続性と係数の決定
x2n+1+ax2+bx+1
x2n+1
思考プロセス
関数 f(x) = lim
11-00
(1) 関数 f(x) を求めよ。
(
(2) f(x) がすべての実数x において連続となるようにa,b の値を定め、
そのときのy=f(x)のグラフをかけ。 x
(1) 《RAction r” を含む数列の極限は, r|と1の大小で場合分けせよ例題101
(ア) |x|< 1 (イ) | x>1 (ウ) x=1 (エ) x=-1 に場合分けする。
(2)(1) の結果から,式の形が変わるx=±1 以外では明らかに連続。
「既知の問題に帰着
x = 1, x=-1 での連続性を調べる。
解 (1) x<1のとき
例題
101
《FAction x=α における連続性は, limf (x)=f(a) が成り立つか調べよ例題135)
Xa
x = 1 において連続
f(x) = lim
72-00
(イ) |x| >1 のとき, lim
11-0
f(x) = lim
11-00
= ax2+bx+1
(ウ) x=1のとき
x+
x
x2n+1+ax+bx+1
x2n+1
f(x) = f(1) となる
lin
x 1
x"
2
a-b
2
X²
f(x)=a+b+2
a
2n-2
がある。ただし,α,
= 0 であるから
+
1+
f(x)=
x=1の前後で式の形が異なるから
limof(x)=limof(x) が成り立つ。
右側極限左側極限
(エ) x = -1 のとき
f(x)=
(ア)~ (エ) より 求める関数 f(x) は
b
2n-1
X²
1
..2n
x²
a+b+2
2
a-b
2
+
bは定数とする。
1
2n
X²
=x
fax²+bx+1 (|x|<1のとき)
( | .x>1 のとき)
(x=1のとき)
( x = -1 のとき)
limx" = 0
11-00
I+limx2n+1, lim.xv2" はとも
22-00
に発散し 不定形となる
から, 分母・分子を
で割る。
(x<[x])==
x²n X
1
2n-2
2n
1
x2n-1
(1) f(1)=lim
1+a+6+1
1+1
a+b+2
2
|f(-1)=lim
-1+a-bt!
1+1
·b
2
例題
135
(2)
135
x=
すな
よー
& fr
x
す
よ
ととも
Poi
関
いい
(2
(:
練習

る
135
例題
135
(2) (1) より, f(x)はx1であるすべての実数にお
いて連続であるから,
1 において連続となるよう
に定数αの値を定める。
x=1 において連続であるための条件は
(1)
すなわち
lim f(x) = lim f(x) = f(1)
x
↓
lim x =
x1+0
1 = a +b+1 = a +b+2
2
よって
これより
a+b=0
De
x=-1 において連続であるための条件は
lim f(x)= lim f(x) = f(-1)
x-100
lim (ax²+bx+1)= a+b+2
x
2
liv
すなわち xlimpo (ax+bx+1) = xlimpo x =
x-1+0
x→a.
a-b+1= -1=
これより
a-b=-2
① ② を連立させて解くと
このとき
7 S(x) = { +*²
1
a-b
2
-x²+x+1/(|x|<1のとき)
(|x| ≧1 のとき)
よって, y = f(x)のグラフは下の図のようになる。
20
5
4
01 1
2
...
a-b
2
a=-1,6=1
Cang
x, ax² + b
の実数x
x → 1+01
で考えるか
x → 1-0, 1
で考えるから
f(x) = ax²+bx+1
[1=a+b+1
a+b+2
2
これらはともに
a + b = 0 となる。
||-1=a-b+1
a-b
2
|-1=
これらはともに
a-b=-2 となる。
-x2+x+1
5
Point 関数の連続性
関数f(x) が次の (1)~(3) の条件を満たすとき, f(x) は x = a において連続であると
いう。
(1) f(α) が定義されている。
(2) limf(x) が極限値をもつ (収束する)。
(3) limf(x)=f(a) が成り立つ。
limof(x)=limof(x) となる。
図 137 次の関数がすべての実数xにおいて連続となるように定数 α, b を定め、その
ときのy=f(x) のグラフをかけ。
3章 関数の極限
10
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