Question

ゆー

四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？
その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

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00000
重要 例題 211 導関数から関数決定 (2)
基本210
微分可能な関数 f(x) が f'(x)=e^-1| を満たし,f(1)=e であるとき, f(x) を
求めよ。
指針>条件f'(x)=le*-11から, f(x) = flex - 1/dxとすることはできな
い。 まず、
絶対値 場合に分けるから
x>0のとき f'(x)=ex-1
x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-e*+1
x>0のときは,A と条件f(1) =e から f(x) が決まる。 しかし、
x<0のときは、条件f(1) =e が利用できない。
そこで,関数f(x)はx=0で微分可能
limf(x)=limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
解答
x>0のとき, e-1> 0 であるから
よって
e=e-1+C
f(1) = e であるから
ゆえに
C=1
したがって f(x)=ex-x+1
x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-e*+1
よって
f(x)=f(-ex+1)dx
よって
したがって
=-ex+x+D (Dは積分定数)
(2)
f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。
ゆえに
lim f(x)=lim f(x)=f(0)
+0
①から
limf(x)=lim (ex-x+1)=2
②から
limf(x)=lim (-ex+x+D)=-1+D
2=-1+D=f(0)
ゆえに D=3
f'(x)=ex-1
f(x)=f(ex-1)dx=e*-x+C (C は積分定数)
x→+0
x-0
このとき, lim-
x→0
π
lim
ん→+0
lim
h-0
x→+0
ex-1
x
0
f(x)=-ex+x+3
=1から
ƒ(h)-f(0)
h
fƒ(h)—ƒ(0)
h
=lim
ん→+0
=lim
=0
よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。
[e*-x+1
以上から
f(x)=
e-h-1
h
h-0
= 0,
-e+h+1
h
(x≥0)
−e³+x+3 (x<0)
で連続 (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。
x=0
y₁
0
導関数f'(x) はその定義か
ら,xを含む開区間で扱う。
したがって, x>0,x<0の
区間で場合分けして考える。
lim
→+0
y=e²-1
f(x) は微分可能な関数。
lim
必要条件。
逆の確認。 p.257 も参照。
--ol
e^-1-1)
h
=(e^-1) + 1}
OIS
練習
211 1<x<1/12 とする。 f'(x)=|tan²x-1|, f(0)=0 であるとき、f(x)を求めよ。
3
<
4

Answer 1

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閉区間だと端点が存在するけど、端点では微分係数が定義できない。なぜならば、微分は極限で定義されているけど、端点では両側から極限をとることができない。右側極限または左側極限しかとれないから。

ゆー

なるほど！ありがとうございます！