Question

も

52番の問題の蛍光ペンで引いている部分の計算過程が分かりません。

[12 東京慈恵会医科大]*
333 DS
△ABCにおいて,BC=1+√6, CA=2,∠C=60°とする。
★52
(1) △ABCの面積Sを求めよ。
(2) 辺ABの長さを求めよ。 0
13 △ABCの内接円の半径r を求めよ。 ×
(8)
[13 広島工業大]*

は
一線
BAD+ ∠BCD=180°
が成り立つ。
cos (180°-0)=-cosl, sin (180°(
用いると、一方の角の三角比の値から
角比の値を求めることができる。
51 三角形の角の二等分線の長さ
解法へのアプローチ
△ABCの面積Sは
S=1/A
面積の関係から, △ABD + △ADC=
成り立つ。
1AB ACsin <BAC
・2・3・
よって、
という面積の関係を用いて
√3
2
3√3 38
2
B
AD = x とすると,
month!
∠BAD=∠CAD=60°であるから
△ABD + △ADC=△ABC
53 3.3
4
2
·x=·
6
108
2
5 STA
解答
(1) S=CB-CAsin C
1/12.2.x ・sin 60°+12/23・3
･・3.x.sin 60°= 3√3
2
-8)=sing
60°60°
D
B
対角
=△ABC
3
S65408
PERI
52 三角形の内接円の半径
解法へのアプローチ
(2) 余弦定理を使う。
(3) △ABCの内接円の半径をr, 面積をSとす
ると、S=1/(a+b+c)
GalaniA
= 1/2 (1+√6). 2. √3
2
(1+√6)
2) 余弦定理により
AB=(1+√6)^+2°-2 (1+√ 6 ) ・2cos60°
1+√6
2
60%
=9
AB>0 より AB=3
■ △ABCの内接円の中心をIとすると,
AIAB+AIBC+AICA=A ABC
nem
(3+(1+√6+2)=(1+76)
6 (1+√6)r=√3 (1+√6)
1-√2
2
よってr=-
B
3
[解説]
三角形ABCの内接円の中心を Ⅰ, 半径をrとす
るとき,
AIAB+AIBC+AICA=A ABC
という面積の関係を利用して, rを求める。
A
そのためには, 3辺の長さ
と、三角形の面積がわかっ
ている必要がある。
AGDA
1+√6
解答
(1) 三平方の定理により
53 立体の断面と垂線の長さ
【解法へのアプローチ
(2) BDE において余弦定理を使う。
A
(4) 垂線の長さをんとして, 三角錐 AEBD の体
積を2通りの方法で表しんを求める。
BD²=32+2°=13
BD=√13
DE2=2°+12=5
DE=√5
E
EB"=3°+1°=10
EB=10
C
2
D
21
3
B
(2) 余弦定理により
cos0=
SAQA
aft
B
5+ 10-13
2-√5-10
√√2
10
F
DE²+ EB²-BD²
r
2DE・EB
C
110 0
(3

Answer 1

lv0043

内接円の中心をIとして、内接円の半径をrとすると、
解説にあるように△IAB＋△IBC＋△ICA＝△ABCなので、
3辺の長さa,b,cがわかっていて、内接円の半径rがわかっている場合の面積は、r(a+b+c)/2 ----(A)です。
つまり、今回の場合は r(AB+BC+CA)/2 = r(3+1+√6+2)/2 ---(B)です。
また、(1)の問題の解より△ABCの面積が √3(1+√6)/2 ---(C)と分かっているので、(B)=(C)とすれば
r(3+1+√6+2)/2 = √3(1+√6)/2 となり、まず両辺を2倍して
r(6+√6) = √3(1+√6)
r√6(√6+1) = √3(1+√6)
r√6(1+√6) = √3(1+√6)
両辺(1+√6)で割ると
r√6=√3
r=√3/√6
r=√2/2

※(A)は知っていればすぐにわかりますが、添付の図のように知らなくても求められます。