Physics
มัธยมปลาย
回答見てもやり方が分からないので簡単なやり方を教えてください
(1) 球体が机上を離れす
いて表せ。
(2)(1)における球体の等速円運動の角速度wをm, k, g, L, 0のうち必要なものを用いて表せ。
(3) 球体の等速円運動の角速度がある限界値 um を超えていると、球体は机上を離れる。限界値をm kg
Lのうち必要なものを用いて表せ
56
(4) フックの法則にしたがうばねの伸びの限度をxとする。この限度内に球体が机上を離れるために、ばね定
数kが満たすべき条件をm,g, L, xm のうち必要なものを用いて表せ。
問題2
次の文を読んで,以下の問いに答えよ。 ただし,解答は記号 0, L,m, d.gのうち適するものを用いて表せ。
〔I〕 右図のように水平面と角0 〔rad] をなす滑らかな斜面の上に, ばね AB が置
かれている。一端A は斜面に固定され, 他端 B は斜面に沿って自由に動くこと
ができる。 B端の上方L [m]の場所から質量m[kg]の物体 C を初速度 0m/s で
すべらせた。 物体CはB端に触れた後, B端と離れずに運動しつづける。 そし
て,物体CはB端に触れた場所からd[m〕 だけ進んだところで運動の向きを変え,それ以後は単振動を行っ
た。ここで,重力加速度の大きさをg [m/s2] とし, 空気の抵抗およびばねの質量は無視できるものとする。
(1) B端に触れる直前の物体Cの速度 uc [m/s] を求めよ。
Amm
0
(2) ばね定数k [N/m〕 を求めよ。
(3) 単振動の周期 T [s] を求めよ。
〔Ⅱ〕 物体Cとばね AB を右上図に示した状態にもどした後、物体Cに斜面に沿った下向きの初速度 v[m/s]
を与えてすべらせた。 物体CはB端に触れた後, B端と離れずに運動しつづける。 そして, 物体CはB端に
触れた場所から2d [m〕 だけ進んだところで運動の向きを変え,それ以後は単振動を行った。 ただし, 解答に
ばね定数kの記号が含まれてもよい。
(4) 物体Cに与えられた初速度v[m/s] を求めよ。
(5) 単振動を行っているときの物体Cの速度の最大値 Vmax [m/s ] を求めよ。
L
問題3
地球を半径R, 質量Mの球と考える。 図1のように,地表にある質量mの小物
体を速さv 鉛直方向上向きに打ち上げた。 万有引力定数をGとして,次の問い
に答えよ。 ただし, 地球の自転や公転の効果は考えないものとする。 また, 地球大
気による空気抵抗は無視できるものとする。
1 小物体が地表から高さんの位置に到達したときを考える。ただし,小物体は
鉛直方向上向きにまだ動いているとする。
(1)このときに小物体が受ける万有引力の大きさを求めよ。
(2) このときの小物体の速さを求めよ。
2 このあと,小物体が最高点に達した。このときの地表からの高さHを求め
よ。
問3図2のように,小物体が地表から高さHの最高点に達した瞬
間に、小物体は2つの小物体A, B に外力を受けずに分裂し,それ
らはお互いに反対方向に運動した。 分裂した瞬間のA,Bの運動方
向は鉛直方向に対し垂直であった。 分裂前の小物体の質量と, A
とBの質量の和は等しいとする。 Aは分裂後, 地球の周りを等速
円運動した。Bは分裂後飛び去り, 無限の遠方で運動エネルギーが
0となった。ただし, 小物体 A,B間の万有引力は無視できるもの
とする。また,以下の問いの解答にはHを用いてよい｡
(1) 分裂後の A の速さと円運動の周期をそれぞれ求めよ。
(2) 分裂した瞬間のBの速さを求めよ。
(3) 小物体 AとBの質量をそれぞれ求めよ。
A B
CR
中心 0
H
中心 0
Om
R
図2
図 1
M
M
(カ)
V2
をGとすると,
2²
ī
プラーの第2
白エネルギー保
Mm
72
と,
程式は
+12
n+n
2r
3
-E
速
(3) T=
(4) ぴo=1
入試問題演習(3)
P.56 P.57]
問題1
(1) F-1-coskl
cos
(3) wm
説 (1)
_1-coskL
cos
(2) 等速円運動の半径はLtan
であるから, 運動方程式は
m (Ltan0) w² = Fsin 0
..
..
(2)
(4) k> mg (L+x)
Lxm
ばねの長さはLであるから.
cos o
F=k(-58
cos 8m
Fcos o
(1-cos 8) k
mL
(3) 球体が机上から受ける垂直抗力の大きさをN
とすると, 鉛直方向の力のつり合いは
N+F cos 8 = mg
N=mg-F cos 8
=mg-(1-cos 0)kL
w=wmのときN=0となる。 このとき00m
とすると.
0mg-(1-cos 0m)kL
cos 8m=1-m
m
LLであるから
L
cos Om
Fsing
mL tan 8
1号
m
(4) 球体が机上から離れるときのばねの伸びは
問題2
(1) vc = v2gL sin 0
(2) k=
4kd2
kL
LKL - mg
これをkについて解くと
k> mg (L+xm)
Lxm
mg
--LA Xm
2mg (L + d) sin A
ď²
(1-cos m) k
2nd
v2g (L + d) sin 0
KL-1)<xm
(1-cos 8) k
771
To
Fsino
mig
-2g (L +2d) sin0
wwwww
Unu - (2d-mg sin 8/4
(1) B端を高さの基準とすると. 物体Cの出発点
の高さはLsin 0 であるから､力学的エネルギー
保存の法則より
(5)
mgL sin 8=1mv.
..v=√2gL sin 8
(2) 物体Cの出発点と運動の向きを変えた点で力
学的エネルギー保存の法則より
mg sino=1/23koda-
d2-mgd sin 8
2mg (L+d)sino_
d²
(3) B端の最初の位置を原点として、斜面に沿って
下向きに軸をとると, 位置xにおける物体C
の運動方程式は、加速度をαとして
ma=kx+mg sin 8
k
a=(x-mg sin 8)
これとa=ω^(x-c)を比べて
w = √ m
(角振動数)
よって, 単振動の周期Tは
T= 2x = 2x√
W
2
mg sin (動の中心)
問題3
問1 (1) G
4kd²
問2 H =
2nd
√2g(L+d) sin 8
(4) (2)と同様に,物体Cの出発点と運動の向きを
変えた点で力学的エネルギー保存の法則より
12/20m2
-mv2+mgLsin 0k (2d)2mg・2d sin 6
m
:: 00=√
2 g(L+2 d)sin 0
(5) 物体Cの運動方程式は(3) と同じであるから.
角振動数ωD と振動の中心cも同じである。
よって, 振幅 Aは
A=2d-c=2dmg sino_
k
であるから,速度の最大値 max は
Vm=Aw=
m
Mm
(R+h)2
2002R2
2GM-v²R
0-a
60 = arc-a+
mg sin
(2d
k
(2)
ひ。2-
k
-a (@-116
m
2GMh
R(R+h)
3
(1)
速さ
(2)
(3)
解説 問1
2GM
√ R+H
GM
R+H
A: (2-√2) m B: (v2-1)m
(2) 求める速さをとする。 万有引力による
位置エネルギーの基準を無限遠点とする
と. 力学的エネルギー保存の法則より
cm
1/12mwo-CMP-1/12m03-GMm
..
M2/
問2 最高点 (h=H)では速さ=0となるから.
問1 (2)の結果より
2GMH
R(R+H)
1₂².
1=0
v²R (R+H)=2GMH
v²R²
2GM-v²R
H=
2GMh__
002 R(R+h)
MA'
問3 (1) 分裂後, Aは万有引力を向心力として
半径 (R+H) の等速円運動を行う。 A の質
量をA, 速さを とおくと, 運動方程
式は
1
VA² MmA
R+H (R+H)2
GM
VA√ R+H
また、円運動の周期Tは
T= 2x (R+H)
VA
G
=2πJ GM
2
(R+H)³
GM
(R+H)3
(2) B の質量 ms, 分裂直後の速さをひとお
くと分裂直後と, 無限遠点で力学的エネル
ギー保存の法則より
MBUB²-G Mm³ = 0
R+H
R+h
(1) (2)の結果より
① ② より
2GM
VB=√ R+H
(3) Aの進行方向を正として, 分裂直前と
直後で運動量保存の法則より
MAVA + m₂(-₂) = 0
2 であるから
ma=√2mg ①
また、分裂直後で質量の総和は不変だから
ma+mg=m････ ②
mA = (2-√2)m. ms=(√2-1) m
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