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共通解を代入したf(α)＝g(α)をつくることは間違っていないのですが、そのあとに判別式＝0を取っていますが、これがマズイ。
αは実数解であるから、判別式≧0であればいいのです。しかし、これだけではkの値はしっかりと求めることができません。そこで、あなたが作った*の式をkについて作り直してみましょう。
2α²+kα+4＝α²+α+k
→ (α-1)k+α²-α+4＝0
ちょっと手詰まりになってしまいましたね。
では、模範解答のように、g(α)を2倍してみましょう。
2α²+kα+4＝2α²+2α+2k
→ k(α-2)-2(α-2)＝0
→ (k-2)(α-2)＝0
結局、g(α)を2倍することで、kとαの値をしっかり出すことができました。
結論として、あなたの書かれたやり方でも答えが出せる場合がありますが、α²を消した方が無難です。
例えば*の式が、2α²+kα+1＝α²+2α+kだったとしましょう。
kについて整理すると、
k(α-1)+α²-2α+1＝0
→ k(α-1)+(α-1)²＝0
→ (α-1)(k+α-1)＝0
このように値を絞ることができました。
ただ、α＝1かk+α-1＝0のどちらかになるのですが、kとαが1つに式の中にあるとやりずらいですね。
やはりα²を消して、kとαの一次式にして求めた方が素直に計算できると思います。
何度もごめんなさい🙏
f(x)=0を満たす解は0個かもしれないし、1個かもしれないし、2個かもしれない。g(x)=0を満たす解も0個かもしれないし、1個かもしれないし、2個かもしれない。
というのは分かります。
けど、f(a)=g(a)=0を満たすaはただ1つなんですよね、、、？
a^2+(k-1)a+(4-k)=0を満たすaが0個だったら、共通解なし。1個だったらただ1つの共通解。2個だったら2つの共通解。だから、D=0にして、ただ1つの共通解にしようとしたのですが、、、、。
ほんとに何回もごめんなさい。あと少しでわかりそうなので、教えていただきたいです
いえ、根本的に勘違いされています。
もとの問題は、f(x)=0と、g(x)=0を互いに解いたとき、xの解が1つ共通するのです。
その共通解をαとしています。
繰り返しますが、「f(x)=0、g(x)=0」における共通解なのです。f(x)=g(x)ではありません。
判別式のやり方では、どこでも良いから2つのグラフ(方程式)が1点で交わる、もしくは接する(重解をもつ)ことを意味します。
今回の問題は、この1点で交わるのはどこでも良いわけではなく、y=0でないとダメなのです。
伝わりますかね？
伝わりましたか？
解答ありがとうございます。
問題文には、ただ１つの実数解と書いてあります。
実数解が１つだからD=0としたのですが、なぜダメなんですか？