Question

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次の2問の解説をお願いします。

(1) X := {(x,y) ∈ R^2 |(x^2 −y^2)(x^2 +y^2 −1) = 0}の基本群を求めよ.

(2) Y := {(x,y,z) ∈ R^3 |(x^2 +y^2)(y^2 +z^2)(x^2 +y^2 +z^2 −1) = 0}の基本群を求めよ.

位相 基本群 融合積 トポロジー ホモトピー

Answer 1

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Crystal Clear

(1)適当に変形すれば4つの円のウェッジ和(ブーケ)になる。ウェッジ和の基本群はそれぞれの基本群の自由積
π1(S1∨S1∨S1∨S1)=π1(S1)*π1(S1)*π1(S1)*π1(S1)=Z*Z*Z*Z=F4 (4つの元から生成される自由群)

(2)適当に回転すれば Y=X∪S2 となるのでこれにファンカンペンの定理を用いる。
π1(Y)=π1(X)*π1(S2)
ただし、X∩S2からXへの包含写像IとS2への包含写像Jによる融合積とする。
融合積を群の表示で考える。
π1(X)は4つの穴の周りをまわるループを時計回りで順にg1,g2,g3,g4とすると、
π1(X)=<g1,g2,g3,g4>
π1(S2)は自明な群
π1(S2)=<e>
π1(X∩S2)はS1だから大円をまわるループをhとすると
π1(S2)=<h>
IとJによるhの像を考える。大円をまわるhはXではg1g2g3g4に移る。YはS2だからYではeに移る。
I(h)=g1g2g3g4
J(h)=e
よって融合積は
<g1,g2,g3,g4 | g1g2g3g4=e >
したがって
π1(Y)=π1(X)*π1(S2)=<g1,g2,g3,g4 | g1g2g3g4=e >

詳しくない分野でいろいろ調べて解いてみただけなので、間違えているかもしれません

ザイフェルト・ファンカンペン seifert–van kampen ウェッジ和

Crystal Clear

なるほど。
ファンカンペンの証明はおろかそのstatementすらちゃんと読んでいませんでした。
位相は距離空間くらいしか知らないのですが、XとS2を少し太らせて厚みをもたせて開集合にすれば回避できるのでは？などと考えました。少し太った和集合を最後に細く変形させればいいかなと