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大問2(1) やじるしは省略します
余弦定理を使って、
BC²=4²+6²-2×4×6×1/2
=28
BC=2√7
AOは円の半径なので、Rとすると正弦定理から
2R=2√7/(√3/2)
→ R=2√7/√3
=2√21/3
cos∠BAO=(4²+R²-R²)/(2×4×R)
=2/R
=√21/7
cos∠CAO=(6²+R²-R²)/(2×6×R)
=3/R
=3√21/14
内積AB・AO=|AB||AO|cos∠BAO
=4×2√21/3×√21/7=8
AC・AO=|AC||AO|cos∠CAO
=6×2√21/3×3√21/14=18
(2)
内積AB・AC=|AB||AC|cos60°
=4×6×1/2=12
AB・AO=AB・(xAB+yAC)
=x|AB|²+yAB・AC=8より
16x+12y=8
→4x+3y=2
AC・AO=AC・(xAB+yAC)
=x|AC|²+yAB・AC=12より
12x+36y=18
→ 2x+6y=3
2つの連立方程式を解いて
x=1/6、y=4/9