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まず、もともと0°≦θ≦180°なので半円になります。また、tanθは90°、270°では定義できないことになっています。90°、270°ではcosθ=0となり、tanθ=sinθ/cosθの式に当てはめると、０で割ることになってしまいます。数学では、０で割ることは不可能、定義の出来ないタブーであるのでtanθを定義することが出来ない。よって、範囲からその角度だけ除くのです。
今回求めなくてはいけないのはtanθ<1のときのθの範囲であるとのことですね。では、90°<θ≦180°でもtanθ<1となるということの考え方を説明します。
まず、tanθ=sinθ /cosθ であることを踏まえます。0°から180°までの間で、sinθは常に正の値をとります。しかし、cosθは、90°から180°の間で負の値をとります。結果、tanθは90°から180°の間で負の値をとるんですね。そういうわけで、sinθ/cosθであるtanθは90°から180°では必ずtanθ<1になります。
また、もっと視覚的に捉える考え方もあります。原点Oを通り、X軸の正の方向となす角がθである直線をＬとおいたとき、その直線Ｌとx=1の直線との交点のy座標をtanθとも考えることができます。
例えば図にあるようなθ=45°のとき、原点Oと点(1,1)を通る直線が直線Ｌになります。この直線とx=1との交点のy座標は1です。これがtan45°の値である、ということです。ここで、θが90°から180°の間になるとき、直線Ｌとx=1との交点は必ず負の値になりますよね。よって、tanθは、90°<θ≦180°のとき必ずtanθ <1を満たしていることがわかります。この考え方は三角関数でも使えます。ただし、x=－1との交点ではなく、必ずx=1との交点のy座標を見る、ということに注意する必要があります。
長くなってしまい読みにくくてすみません。
とても細かくありがとうございます。参考にさせていただきます。
細かく解説していただきありがとうございます。なぜ90°が＜になるのかは分かりました。ですが、なぜ90°~180°の範囲も回答しなくてはならないのですか。