Question

ピッピー

数学Ⅲの一対一対応の数学の質問です！写真二枚目の下線引いてあるところが何しているか分からないので教えて下さい！

AQ上にPがあるとき PQは最小で,最小値
09 演習題(解答は p.58)
の最小値はF(1) =,
(長岡技科大)
の最小値とそのときのQの座標を求めなさい。
(イ)(B=2ZA であるような三角形ABCのなかで面積が最大となるときの ABの旨
さを求めよ、ただし BCの長さは1とする.
て、 ABを叶を
積も0で教す。
(信州大·工)
i!
44

. f'(0)=cos20+2cos40
2011sm
おく.0が増加すると,tが減少するこ
1
(1+2cos20)sin 20-1
2
f(x)の分子にお
(r本シリーズ「数I
もよい。V6<2.5,
V6-/2<2.5-1=1.5<V3
N
f(ェ)=エーa
」のと
(-1)-(エ
ェ)=
ーCos20+2(2cos0-
=4COS'20+cos20~2
(ア)極値を与えるこが0SxScにあるかど
うかで場合分けが生じる。
(イ)ZA=0とおいて, AB と面積Sを0で表す. AB
を0で表すには, 正弦定理を用いる。
解 (ア) Q(z, 0) とおくと, Qは線分 OC上を動く
から,0SzSc
9
ー4t+t-2…の (is. s
(ェ-1
て、f(z)の符号は
ェー(+1) 0.
の=0 のとき,t=ニ!は
号に等しい、g(ェ)
8
2
のにより,0<20<である
く.y=g(ェ)と
A
(x)が接するのは
)が重解をもつと
Q
C
AQ+BQ+CQ
から,t=cos20 の範囲は、
C
0
=2/22+1 +cl2
=f(z)
門別式をDとす石
<t<1である.この範囲で、
2
4=a-1=0
B-1
とおく。
2.c-Vz?+1
-1=
Vz2+1
2のグラフは右のようになる。
て,右図のように
x)の符号は, g
2c
f(z)=2-
2/+1
-1+V33
S1のとき、極
のとき,極大値
-=pとおき, cos20=リキ1 aを完全い
8
であるから,f'(z)は
;の符号によっ
こより,f'(x)
のグラフとから,
f(0)の増減表は右
1
C
と同符号である。
0
3
I
>0のとき、
t
のようになる。
よってSは0=a
のとき最大となる。
<cのとき,
V3
0
F(0)(@の特号
f(z)
<0のとき,
f(x)
f(0)
符号に等しい
>0のときに
あるから、
f(z)の増減は右表の
=V3 +c
で最小になる。
V3
cos 2a=pであり,AB=wwwである。
ようになり,エ=
S0のとき
"の符号を,
断すれば、
ーのとき, 0S.zMc<
により
V3
の長さは, AB=1+2cos2a=1+2}=
*0<cS-
/3
主2 1<a
……) において<q)とす。
化して極
sin30
3.2-150であり, f'(z)<0
注 AB=
sin0
f(z)は減少関数であるから, エ=cで最小になる。
を用いると,分子が sin@で約分できして極大値
とを解答では使った.なお, @の料
倍角の公式を用いると
以上により,最小値とそのときのQの座標は,
V3
0<cS-
のとき, 2/c+1, Q(c, 0)
3
f(0)=.sin 30
2 sing
1' sin26=s"
V3
-<cのとき, c+/3,Ql
/3
(,0)
となる.これを微分するときも, エーk
き,k(ェ
"-1は上三
3
(イ)ZA=0とおくと, ZB=20,
ZC=π-30であり, これらが正であ
f(0)=-(sin40+sin20)としておい。
2
Sin (20+0) sin 20cosHtl T。
3
sin0
以下,解答と同様である。 ABの ①のと
12-1
π
ることから,0<0<
=2cos?0+cos20=(cos26+]*P て, ě
とする。
右図で,正弦定理を用いて,
(z)の
20
AB
元ー30°
1
sin(ェー30)
B
1
sin0
58

+|へ
o-
に&/
3sin0-4sin3。
sin 30
sin 0
=3-
AB=
sin0
り,0<aSt3のとき、M(a) m(a)
範囲は、それぞれ
33
(3-4sin'0)sin29
したがって、AABC
2
f(z)の分子において、ar とそれ以外
する( 本シリーズ「数I」 p.49).
エーa
ー1
S(0)=;AB-BCsin20=
2
(10
;6-12を小数第一位まで正確に
2く/3を示した,不鉄式を利用して
5. /2>1であるから、
2<25-1=1.5<,3
- のとき、
<,0<m(a)s9
静 f(z)=
(3-2(1-cos20)}sin20
f(z)=エ=1)-(z-a).2.r
(z-1)?
+2c
(z?
=(1+2cos20)sin20=
2 w m
1
(sin20+sin40
2
よって、f(z)の符号は,
2ax-(z?+1)……O, つまり az-
1
う角度を20に参、
2
=cos 20+2(2cos?20-1)
=4cos?20+cos 20-2
=4?+t-2… 2 (t=cos29
: S(0)=cos20+2cos40
の符号に等しい。 g(z)=ar, h(z)=-(
を与えるよが0Mrscにあるかど
とおく、y=g(z)と
y=h(z)が接するのは、
の=0 が重解をもつときで、
その判別式をDとすると,
DI4=a°-1=0
: a=1(: a>0)
よって,右図のようになる。
f"(z)の符号は, g(z)-h(z)の符
0<as1のとき,極値は存在しない。
1<aのとき,極大値と極小値を1つず
→注1 aを完全に分離すると:
エの符号によって,状況が変わる
のにより、f'(x)の符号は, ェ=0c
とおいた)
て, ABと面積Sを目で表す。 AB
定理を用いる。
とおくと, Qは線分OC上を動く
a=
の=0のとき,t=1土/33
8
じる。
リ=h(x)
2
8
3
のにより,0<20<である
A
2
Q
から, !=Cos20 の範囲は、
0
-く<Iである。この範囲で、
T-2
+3
8
B-1
ののグラフは右のようになる。
-1+/33
2ェー/ェ+1
-1=
デ+1
8
6が増加すると, tが減少することに注意して、。
=3r?-1
ェ>0のとき、 a-(エ+)
のグラフとから,
01……
1
0…
3
11…」か…
f(0)の増減表は右
のようになる。
よってSは0=a
t
(0
はく0のとき,(エ+-)-a
の符号に等しい、
a>0のとき3<0
であるから,
エS0のときf'(x) <0
2の符号を,右図によって
判断すれば,答えが得られ
/3
F(0)(②の符号)
-12
F(エ)
f(x)
0
f(0)
のとき最大となる。
Cos 2a=pであり, AB=wwmであるから,求める An
1
こなる。f
/3+c
/3
=
1
cハ-
により
の長さは, AB=1+2cos2α=1+2カ=-
3+/33
/3
4
る。
sin30
今注 AB=-
..③ において, 3倍角の公式
→注2 1<aのとき, g(エ)=
(かくq)とすると, f'(z)はp
変化して極小値をとり,qの
化して極大値をとる.
エ=cで最小になる。
のQの座標は,
sin0
を用いると,分子が sin@で約分できるのが見えるこ
とを解答では使った。なお, ③のままSを計算し,2
倍角の公式を用いると
: Q(c, 0)
3
1 sin30
f(0)=
2 sine
となる。これを微分するときも, 積→和の公式を使い
3
·1'sin20=sin30cos@
(2)kを分離すると
(1) 05の例題の解答
(2) ーk?+k=0
のとき,k(z°-1)=a° .…0
エ=±1は上式を満たさない
から,①のとき キ±1で,
11
A
f(0)=;(Sin40+sin20)としておくところである。
以下,解答と同様である. ABの計算では,
Sin (20+0)_ sin20cosθ+cos20sin d
あ
0
3=
20
B
元ー30へ
=2cos'0+cos20=
sin0
sin0
とする
k=
=f(a

数学 標準 応用

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

sin theta

増減を考えるためにf’(x)の符号変化が何で決まるかを見ています

ピッピー

分かりやすい説明ありがとうございます。