Mathematics
มัธยมปลาย
数学Bのベクトルの問題です。回答には、原点Oから直線に垂線ODを下ろすとODベクトルはnベクトルに平行になると書いてあるのですが、理解できません。
83 ペクトル(-1, 、3) に垂直で, 原点0からの距離が4である直線の方程式を
求めよ。
の武線
る点
点P
OA'B
ある。A
とのなす角を0とすると
実数があ
H, とすると (x+8,v
したがって
すなわち
Hは直線3xーyー5%3D0 上の点である
x+8=3k、 ー1=Dー-
x=3k-8, =ー&+
cos0
V3×V3+1x(-1)
V3)+1V(V3)+(-1)
0=60°
3(3k-8)- (ール+1)-5=
A+OB
すなわち 10k-303D0
これを解いて =3
の日の座標は, ① にk=3D3 を代入
(3×3-8, -3+1) すなわも
O's0s180° であるから
よって, 求める鋭角αは α%30360°
(2) =(2, -3), n,=(1, 5) は, それぞれ直編
2ォ-3y+1=0, x+5y-3%3D0
の法線ベクトルである。
と。のなす角を0とすると
3=" とおくと
o+の)
よって
<1, s'20, 2'0
AH=V1-(一8)?+(-2-12
A。
トルであるから n/HP
とHPのなす角を6
n」 n2
2×1+(-3)×5
V22+(-3)V1?+5
(B
cos0
よって,
cos0 = ±1
-F=Hcose である
-亜|=|||E
V2
0°S0<180° であるから
よって, 求める鋭角 αは α=180°-0= 45°
B
0=135°
%3DOA' とすると
(2) (1) より
83 カ=(-1, V3) とすると, n は求める直線の
法線ベクトルである。
また,Oから直線に垂線 ODを下ろすと, 条件
d=HF-
三わるとき。
|ax,+byュ-(aX2+
Va?+6
から
OD=4
したがって, OD は nに平行で, 大きさ4のベ
クトルであるから
ここで,点Hは直線l
ax2+by2+c=0より
n
OD=4×
または OD=-4×-
よって
n
|ax,+byi-(-c
Va+b
D
d=
同=V-1)°+(V3)
OD=(-2, 2、/3) または OD=(2, -2、/3)
求める直線は,点Dを通り, nを法線ベクトル
とする直線である。
よって, OD=(-2, 2、3) のとき, 直線の方程
=2 であるから
E
86 0を原点とする。
(1) 求める直線上の点
Pは点Aを通り, E
AP.BC=0
ここで、
R
F
式は
こき, 線分 QR は
に動く。
=20B,
うとなる点 C,
ー(x+2)+V3(yー2、3)%3D0
すなわち xーV3y+8=0
AP=(x-3,
また, OD=(2, -2/3)のとき, 直線の方程式
であるから
は
(xー2)-V3(y+2v3)=0
xーV3y-8=0
範囲は,平行四
すなわち
よって
2x+
る。
(2) 求める直線上
84 (1) n=(3, -1)と AHは, 直線
3x-y-5=0 の法線ベクトルである。
Pは線分 AC の
線上にあるから
MP-AC=
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