Mathematics
มัธยมปลาย
(2)なんですが、どうしてγが0から1の範囲にあると分かるのか教えて頂きたいです！
5
解で
(1)実数係数の方程式が虚数 α を解にもつ
考え方
両
あることを利用する。
つけ,できるだけ未知数の少ない式を立てることは大切である。
(x++)+("ィ++
(S
a月
Process
よ
解答
3+V7i
を解にもつ実数係数の方程式は,
(1)複素数a=
共役な複素数aも解
3-V7iも解にもつから,これらを2解とする2次方程
2
Q=
報O (0+) 0%3Db+x+d+ 天野さ
式は
3-V7i)。
3+/7i
)-3-7)
= 0
D
x一
2
したが
: -3x+4=0 -2a
(2)(1)より, x+ax'+bx+cはx-3x+4を因数にもつ
から,与えられた3次方程式の実数解をyとおくと
x°+ ax°+ bx+c==(x-y)(x°-3x+4)
: +ax°+ bx+c=x°-(y+3)x°+(3y+4)x-4y
と表せる。両辺の係数を比較して
[a=-y-3
6=3y+4
dDr fr+
虚数解 a,a と実数解
をもつ3次方程式を立
式
5
2
lc=-4y
ここで,aは整数であるから, ①より yも整数であることが
わかる。このことと0SyS1であることから
8+S--
-= J
キ)=D++。
Y=0または1
したがって, 求める整数の組 (a, b, c)は①~③より
(a, b, c)=(-3, 4, 0), (-4, 7, -4) 答
1S+S.S-
実数解yを求める
解説 実数係数の方程式
f(x)= anx"+an-1.2"-1 + …+a1x+ao=0
が虚数解aをもつとき,それと共役な複素数αも方程式(*)の解である。
これは次のように証明できる。
お
Cる
★★V』
5 Lv.★★
解答は18ページ。
「付 の
3+V72とする。ただし, iは虚数単位である。次の問いに答えよ。
2
Q=
(1)αを解にもつような2次方程式x+ px+q=0 (p, qは実数)を求めよ。
(2)整数a, b, cを係数とする3次方程式 x°+ax+ bx+c=0について,
解の1つはαであり,また0ハ×ハ1の範囲に実数解を1つもつとする。
このような整数の組 (a, b, c)をすべて求めよ。 t)
(神戸大)
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