Question

ソラ

［2］の問題1が全然分からないので教えていただきたいですm(_ _)m

[2]: 以下の設定をする:
(i) ベクトル空間R’において標準内積をとり内積空間とする。
(i) R°における「零ベクトルを中心とする半径1の球」
S= {v€R°|| = 1}
をとる。
()球S上の任意のベクトルッをとり固定する。
このとき
球Sを変えずにぃをe=
0
にうつす直交変換を与える行列。
0
即ち
Av =eとなる3次直交行列 A
を以下の手順に従い構成する:
-1 0 0
まずロ= -€のときはA=
010
をとればよい、従って以降vは
0
01
ひ+e+0
を満たすとする。.
ここでR°の部分空間
W= (u+e)
とその直交補空間 W-をとる.このとき
R°の任意のベクトルuはu=c(v+ e) + y (cは実数, yEW-) と一意的に表される。
[問題11: R からR'への写像Tを
T:R°→R: T (c(v + e) + y) = c(u+e) - y (cは実数,yEW-)
と定義する。
(1) TがR°の直交変換であることを示せ。
(2) (v+e, v-e)を計算せよ。
(3) T (v+e)及びT(v-e)をvとeを用いて表せ。
(4) T (v) = eを示せ。

Answer 1

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Crystal Clear

内積空間における直交変換の定義は何だったでしょうか。定義を満たすか確認すればいいです。

直交変換

ソラ

ご回答ありがとうございます！もうひとつ聞きたいのですが、(4)のT(v)=eはどのように示せば良いでしょうか？

Crystal Clear

(3)の2つの和をとります。ここでＴの線形性を用います。

補足
この写像はv+e方向成分はそのままで、残りの垂直成分を-1倍しますから、少し絵を描いてみれば、直線v+eに関する折り返しだとわかります。

ソラ

ありがとうございます!!理解出来ました！